题目内容
如图所示，在以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内充满了磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方为一平行板电容器，其正极板与x轴重合且在O处开有小孔，两极板间距离为| πR | 12 |
（1）若电子在磁场中运动一段时间后刚好从磁场的最右边缘处返回到x轴上，求加在电容器两极板间的电压．
（2）将两极板间的电压增大到原来的4倍，先在P处释放第一个电子，在这个电子刚到达O点时释放第二个电子，
求①第一个电子在电场中和磁场中运动的时间之比
②第一个电子离开磁场时，第二个电子的位置坐标．
分析：（1）电子先经电场加速，后进入磁场中偏转．根据动能定理列式，得到电压与电子获得的速度关系式；根据几何知识得知电子在磁场中圆周运动的半径为 r=
．由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得速度，联立即可求得电压U．
（2）①根据上题的结果，得到将两极板间的电压增大到原来的4倍后电子在磁场中的半径．电子在电场中加速时，由牛顿第二定律和运动学公式结合得到时间；在磁场中，根据轨迹对应的圆心角，求解时间，再求解时间之比；
②根据第一个电子离开磁场时，得到第二个电子的圆心角，由几何知识求解其位置坐标．
| R |
| 2 |
（2）①根据上题的结果，得到将两极板间的电压增大到原来的4倍后电子在磁场中的半径．电子在电场中加速时，由牛顿第二定律和运动学公式结合得到时间；在磁场中，根据轨迹对应的圆心角，求解时间，再求解时间之比；
②根据第一个电子离开磁场时，得到第二个电子的圆心角，由几何知识求解其位置坐标．
解答：
解：（1）设加速电压为U，电子经电场加速后速度为v，由动能定理得：
eU=
mv2
又在磁场中，根据牛顿第二定律有：evB=m
由题意得：r=
联立以上各式解得：U=
（2）①电压增加为原来4倍，则有电子在磁场中的半径r′=2r=R
设电子在电场中运动时间为t1，加速度为a，则有
电容器极板间的场强 E=
设间距为d，有：
eE=ma，
d=
a
解得：t1=
设电子在磁场中运动总时间为t2．
电子在磁场中运动的周期 T=
，
根据几何知识得知，电子在磁场中轨迹对应的圆心角为60°，故有 t2=
T
解得：t2=
即 t2=2t1．
则得：t1：t2=1：2．
②由此可知：第一个电子离开磁场时，第二个电子的圆心角为30°，如图中的Q点：
Qx=R-Rcos30°=
R，Qy=Rsin30°=
R
因此Q点的坐标为：（
R，
R）
答：（1）加在电容器两极板间的电压为
．
（2）①第一个电子在电场中和磁场中运动的时间之比为1：2．
②第一个电子离开磁场时，第二个电子的位置坐标为（
R，
R）．
解：（1）设加速电压为U，电子经电场加速后速度为v，由动能定理得：eU=
| 1 |
| 2 |
又在磁场中，根据牛顿第二定律有：evB=m
| v2 |
| r |
由题意得：r=
| R |
| 2 |
联立以上各式解得：U=
| eB2R2 |
| 8m |
（2）①电压增加为原来4倍，则有电子在磁场中的半径r′=2r=R
设电子在电场中运动时间为t1，加速度为a，则有
电容器极板间的场强 E=
| 4U |
| d |
设间距为d，有：
eE=ma，
d=
| 1 |
| 2 |
| t | 2 1 |
解得：t1=
| πm |
| 6eB |
设电子在磁场中运动总时间为t2．
电子在磁场中运动的周期 T=
| 2πm |
| eB |
根据几何知识得知，电子在磁场中轨迹对应的圆心角为60°，故有 t2=
| 1 |
| 6 |
解得：t2=
| πm |
| 3eB |
即 t2=2t1．
则得：t1：t2=1：2．
②由此可知：第一个电子离开磁场时，第二个电子的圆心角为30°，如图中的Q点：
Qx=R-Rcos30°=
2-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因此Q点的坐标为：（
2-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
答：（1）加在电容器两极板间的电压为
| eB2R2 |
| 8m |
（2）①第一个电子在电场中和磁场中运动的时间之比为1：2．
②第一个电子离开磁场时，第二个电子的位置坐标为（
2-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，能根据半径公式，周期公式结合几何关系求解．
练习册系列答案
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。现有电荷量为e、质量为m的电子在O点正下方负极板上的P点由静止释放。不计电子所受重力。
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