Question

6．如图所示，在xOy平面直角坐标系中，直角三角形ACD内存在垂直于平面向里磁感应强度为B的匀强磁场，线段CO=OD=L，CD边在x轴上，∠ADC=30°，电子束以向+y方向相同的速度v₀从CD边上的各点射入磁场，已知这些电子在磁场中做圆周运动的半径均为$\frac{L}{3}$，在第四象限正方形ODQP内存在沿+x方向，大小为E=Bv₀的匀强电场，在y=-L处垂直于y轴放置一平面足够大的荧光屏，屏与y轴焦点为P，忽略电子间的相互作用，不计电子的重力．试求：
（1）电子的比荷．
（2）从x轴最右端射入电场中的电子打到荧光屏上的点与P点间的距离．
（3）射入电场中的电子达到荧光屏上的点距P的最远距离．

Answer 1

分析 （1）电子在电场中做顺时针的匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，再与给出的半径大小联立，即可求出电子的比荷；
（2）粒子在磁场中运动的圆轨迹必须与直线AD相切时打到荧光屏上距Q点最远，利用平抛的特点结合几何关系即可求出从x轴最右端射入电场中的电子打到荧光屏上的点与P点间的距离；
（3）写出射入电场中的电子达到荧光屏上的点距P距离的表达式，利用数学知识求其最大值即可．

解答 解：（1）由题意可知电子在磁场中的轨迹半径r=$\frac{L}{3}$ ①
由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$②
联立①②式可得电子的比荷：$\frac{e}{m}$=$\frac{3{v}_{0}}{BL}$③
（2）若电子能进入电场中，且离O点右侧最远，则电子在磁场中运动圆轨迹恰好与边AD相切，
即粒子从F点离开磁场进入电场时，离O点最远，设电子运动轨迹的圆心为O′点，则：OF=x_m=$\frac{2L}{3}$
从F点射出的电子，做类平抛运动，有：
$\frac{2L}{3}$=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$④
y=v₀t⑤
结合已知：E=Bv₀⑥
联立③④⑤⑥式得：y=$\frac{2L}{3}$⑦
设从x轴射入电场中最右端的电子打到荧光屏上的点为G，电子射出电场时的速度与水平方向的夹角为θ，
类平抛过程，根据几何关系有：tanθ=$\frac{y}{2x}$=$\frac{1}{2}$⑧
联立⑦⑧式可得：GP=$\frac{（L-y）}{tanθ}$=$\frac{2L}{3}$
（3）设打到屏上离P点最远的电子是从（x，0）点射入电场，则射出电场的：
y=v₀$\sqrt{\frac{2xm}{Ee}}$=$\sqrt{\frac{2xL}{3}}$ ⑨
设该电子与P距离X，由平抛运动特点得：$\frac{X}{x}$=$\frac{2（L-y）}{y}$⑩
联立⑨⑩式可得：X=2（$\frac{xL}{y}$-x）=2（$\sqrt{\frac{3xL}{2}-x}$）=-2[（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{3L}{8}}$）²-$\frac{3L}{8}$]
所以当x=$\frac{3L}{8}$时，X取最大值：X_m=$\frac{3L}{4}$
答：（1）电子的比荷为$\frac{3{v}_{0}}{BL}$；
（2）从x轴最右端射入电场中的电子打到荧光屏上的点与P点间的距离为$\frac{2L}{3}$；
（3）射入电场中的电子达到荧光屏上的点距P的最远距离为$\frac{3L}{4}$．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定某些物理量之间的关系；粒子在电场中的偏转经常用化曲为直的方法，求极值的问题一定要先找出临界的轨迹，注重数学方法在物理中的应用．