Question

15．图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用．
（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径．
（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔．

Answer 1

分析 （1）粒子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律列式即可求得半径；
（2）根据时间与转过的角度之间的关系$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$求得两个粒子从O点射入磁场的时间间隔之差值．

解答 解：（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$
（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，圆心和直径分别为O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角．由几何关系可知：∠PO₁Q₁=∠PO₂Q₂=θ
从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q₁P
Q₁P=Rθ
粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ₂
PQ₂=Rθ
粒子1运动的时间：${t_1}=\frac{1}{2}T+\frac{Rθ}{v}$
粒子2运动的时间：${t_2}=\frac{1}{2}T-\frac{Rθ}{v}$
两粒子射入的时间间隔：$△t={t_1}-{t_2}=2\frac{Rθ}{v}$
因$Rcos\frac{1}{2}θ=\frac{1}{2}L$
得$θ=2arccos\frac{L}{2R}$
解得：$△t=\frac{4m}{qB}arccos（\frac{LqB}{2mv}）$
答：（1）所考察的粒子在磁场中的轨道半径是$\frac{mv}{qB}$．
（2）这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔是$\frac{4m}{qB}arc•cos（\frac{LqB}{2mv}）$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，关键是明确洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解出半径，然后结合几何关系列式求解，属于带电粒子在磁场中运动的基础题型．