Question

回旋加速器以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量m电量+q的带电粒子，以初速度V₁垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，再进入电场做匀加速运动，后第二次进入磁场中运动…，粒子在电场和磁场中不断交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，…以此类推．则（　　）

• A．粒子第一次经过电场电场力做功W1=

  3

  2

  m

  v

  2 1

• B．粒子第三次经过磁场洛仑兹力做功W3=

  7

  2

  m

  v

  2 1

• C．粒子第五次经过电场时电场强度大小E5=

  9m v 2 1

  2qd

• D．粒子第七次经过电场所用时间t7=

  2d

  13v1

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出粒子第n次进入磁场时的半径R_n与速度的关系式，由题给条件研究粒子第2次进入磁场时的速度，即粒子第一次经过电场的过程的末速度，根据动能定理求解粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W₁．
（2）根据第（1）问的结果可知粒子第n+1次进入磁场时和第n次进入磁场时的速度，即第n次进入电场时和穿出电场时的速度，根据动能定理求出粒子第n次经过电场时电场强度的大小E_n．
（3）根据牛顿第二定律求出粒子第n次经过电场时的加速度，由（2）结论，由速度公式求出粒子第n次经过电场所用的时间t_n．

解答：解：A、设粒子第n次进入磁场时的半径为R_n，速度为v_n，
      由牛顿第二定律得
          qvnB=m

vn2

Rn

①
       解得：v_n=

BqRn

m

…②
       因为R₂=2R₁，
       所以V₂=2v₁…③
      对粒子第一次在电场中运动的过程，
      由动能定理得W₁=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²…④
      联立③④式得W₁=

3

2

m

v

2 1

…⑤，故A正确；
      B、洛仑兹力的方向始终指向圆心，所以洛伦兹力不做功，故B错误；
      C、粒子第n次进入电场时速度为v_n，穿出电场时速度为v_n+1，
        由题意知  V_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥
        由动能定理得
        qE_nd=

1

2

m_n+1²-

1

2

mv_n²…⑦
      联立⑥⑦式得
        E_n=

(2n+1)mv12

2qd

…⑧
     当n=5时，E5=

11m v 2 1

2qd

，故C错误；
     D、设粒子第n次在电场中运动的加速度为a_n，
      由牛顿第二定律得qE_n=ma_n…⑨
      由运动学公式得v_n+1-v_n=a_nt_n…⑩
      联立⑥⑦⑧⑨⑩式得
     t_n=

2d

(2n+1)v1

     当n=7时，t7=

2d

15v1

，故D错误．
故选A

点评：本题关键是充分应用题给条件研究粒子第n次进入电场时的速度，穿出电场时速度．动能定理是求功常用的方法．