Question

质量为M的圆环用细线（质量不计）悬挂着，将两个质量均为m的有孔小珠套在此环上且可以在环上做无摩擦的滑动，如图所示，今同时将两个小珠从环的顶部释放，并沿相反方向自由滑下，试求：
（1）在圆环不动的条件下，悬线中的张力T随cosθ（θ为小珠和大环圆心连线与竖直方向的夹角）变化的函数关系，并求出张力T的极小值及相应的cosθ值；
（2）小珠与圆环的质量比

m

M

至少为多大时圆环才有可能上升？

Answer 1

分析：（1）对其中任一小珠研究，根据机械能守恒求得速度与θ的关系式，小珠做圆周运动，指向圆心的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小珠所受的圆环的弹力，再根据牛顿第三定律得到小珠对圆环的弹力，圆环处于静止状态，由平衡条件求出T与θ的关系式，再根据数学知识分析极小值及相应的cosθ值；
（2）当圆环所受的合力向上时，有可能上升，根据上问的结果进行讨论．

解答：解：（1）设小珠和大环圆心连线与竖直方向的夹角为θ时小珠的速度大小为v．
根据机械能守恒定律得：
  

1

2

mv2=mgR（1-cosθ）
设圆环对小珠的弹力大小为N，由牛顿第二定律得
  mgcosθ-N=m

v2

R

对于圆环，合力为零，则有
  T=Mg+2Ncosθ
联立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
根据抛物线方程知，当cosθ=-

b

2a

=-

-4mg

12mg

=

1

3

时，T有极小值，极小值为T_min=Mg-

2

3

mg
（2）由上知，T_min=Mg-

2

3

mg，说明此时小珠对圆环的作用力的合力方向向上，大小为N′=

2

3

mg
当N′＞Mg时，圆环将会上升，则有T_min=Mg-

2

3

mg＜0
解得，

m

M

＞

3

2

答：（1）在圆环不动的条件下，悬线中的张力T随cosθ变化的函数关系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ，张力T的极小值是Mg-

2

3

mg，相应的cosθ值是

1

3

；
（2）小珠与圆环的质量比

m

M

至少为

2

3

时圆环才有可能上升．

点评：本题运用机械能守恒、圆周运动、力平衡条件结合推导出T的表达式，再根据数学知识求解T的极小值．