Question

18．如图所示，质量为m₃=2kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径为R=0.3m的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧．滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑．质量为m₂=3kg的物体2（可视为质点）放在滑道的B点，现让质量为m₁=1kg的物体1（可视为质点）自A点由静止释放．两物体在滑道上的C点相碰后粘为一体（g=10m/s²）．求：
（1）物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离；
（2）若CD=0.2m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ=0.15，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；
（3）物体1、2最终停在何处．

Answer 1

分析 （1）物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，物体2由于不受摩擦，静止不动．系统水平不受外力，动量守恒，用位移与时间的比值表示平均速度，根据动量守恒列式求出滑道向左运动的距离；
（2）物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，系统中只有重力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒和动量守恒列式，可求出物体1、2碰撞前两个物体的速度；物体1、2碰撞过程，根据动量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物体1、2向右运动，滑道向左运动，弹簧第一次压缩最短时，根据系统的动量守恒得知，物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大．根据能量守恒定律求解在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能．
（3）根据系统的能量守恒列式，即可求出物体1、2相对滑道CD部分运动的路程s，从而确定出物体1、2最终停在何处．

解答 解：（1）m₁从释放到与m₂相碰撞过程中，m₁、m₃组成的系统水平方向动量守恒，
设m₁水平位移大小s₁，m₃水平位移大小s₃，则有0=m₁$\frac{{s}_{1}}{t}$-m₃$\frac{{s}_{3}}{t}$
得  0=m₁s₁-m₃s₃ 
其中  s₁=R-s₃
可以求得s₃=$\frac{{m}_{1}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}$═$\frac{{m}_{1}{s}_{1}}{{m}_{3}}$=$\frac{1×0.3}{1+2}$=0.1m  
（2）设m₁、m₂ 刚要相碰时物体1的速度v₁，滑道的速度为v₃，由机械能守恒定律有
m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²
由动量守恒定律有0=m₁v₁-m₃v₃
设物体1和物体2相碰后的共同速度为v₂，由动量守恒定律有
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
弹簧第一次压缩最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大．
设为E_pm．从物体1、2碰撞后到弹簧第一次压缩最短的过程中，由能量守恒有
$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²-μ（m₁+m₂）g$\overline{CD}$=E_pm
联立以上方程，代入数据可得，E_pm=0.3J
（3）分析可知物体1、2和滑道最终将静止，设物体1、2相对滑道CD部分运动的路程为s，由能量守恒有
$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{3}{v}_{3}^{3}=μ（{m}_{1}+{m}_{2}）gs$
带入数据可得：s=0.25m
所以m₁、m₂最终停在D点左端离D点距离为0.05m处
答：（1）物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离是0.15m；
（2）若CD=0.2m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ=0.15，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能是0.3J；
（3）物体1、2最终停在D点左端离D点距离为0.05m处．

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，往往根据能量守恒研究．