Question

（2009?湖北模拟）如图所示，质量为m₃=3kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径为R=0.15m的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑到水平部分右端固定一个轻弹簧．滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑．质量为m₂=2kg的物体2（可视为质点）放在滑道的B点，现让质量为m₁=1kg的物体1（可视为质点）自A点由静止释放．两物体在滑道上的C点相碰后粘为一体（g=10m/s²）．
（1）求物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离；
（2）若CD=0.1m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ=0.1，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；
（3）物体1、2最终停在何处．

Answer 1

分析：（1）物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，物体2由于不受摩擦，静止不动．系统水平不受外力，动量守恒，用位移与时间的比值表示平均速度，根据动量守恒列式求出滑道向左运动的距离；
（2）物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，系统中只有重力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒和动量守恒列式，可求出物体1、2碰撞前两个物体的速度；物体1、2碰撞过程，根据动量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物体1、2向右运动，滑道向左运动，弹簧第一次压缩最短时，根据系统的动量守恒得知，物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大．根据能量守恒定律求解在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能．
（3）根据系统的能量守恒列式，即可求出物体1、2相对滑道CD部分运动的路程s，从而确定出物体1、2最终停在何处．

解答：解：（1）m₁从释放到与m₂相碰撞过程中，m₁、m₃组成的系统水平方向动量守恒，设m₁水平位移大小s₁，m₃水平位移大小s₃，有：
0=m₁s₁-m₃s₃
又s₁=R
可以求得s3=

m1s1

m3

=0.05m
（2）设m₁、m₂刚要相碰时物体1的速度v₁，滑道的速度为v₃，由机械能守恒定律有m1gR=

1

2

m1v12+

1

2

m3v32
由动量守恒定律有0=m₁v₁-m₃v₃
物体1和物体2相碰后的共同速度设为v₂，由动量守恒定律有m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
弹簧第一次压缩最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大，设为E_Pm．从物体1、2碰撞后到弹簧第一次压缩最短的过程中，由能量守恒有

1

2

(m1+m2)v22+

1

2

m3v32-μ(m1+m2)g

.

CD

=EPm
联立以上方程，代入数据可以求得，E_Pm=0.45J
（3）分析可知物体1、2和滑道最终将静止，设物体1、2相对滑道CD部分运动的路程为s，由能量守恒有

1

2

(m1+m2)v22+

1

2

m3v32=μ(m1+m2)gs
代入数据可得s=

10

8

m=0.25m
所以m₁、m₂最终停在CD的中点处
答：
（1）物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离是0.05m；
（2）若CD=0.1m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ=0.1，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能是0.45J；
（3）m₁、m₂最终停在CD的中点处．

点评：本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，往往根据能量守恒研究．