Question

（08年树德中学期中）（15分）半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B的质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从在边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相碰，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R/4，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g，求：

（1）待定系数β

（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力

（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

Answer 1

解析：

（1）因能量守恒mgR=mgR/4+βmgR/4

 

得β=3

 

（2）设A、B碰后的速度分别为V₁、V₂，

 

则mV₁²/2=mgR/4，βmV₂²/2=βmgR/4设向右为正，

 

得V₁=方向向左，V₂=方向向右

 

 设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N，方向竖直向上为正，则

 

 N―βmg=βm V₂²/R，N=―N=―4.5mg方向竖直向下

 

 

（3）设A、B球第二次碰刚结束时的速度分别为V₃、V₄，则

 

mV₁―βmV₂=mV₃+βmV₄，mgR= mV₃²/2+βmV₄²/2 

   

V₃= ―，V₄=0（V₃= ―V₁，V₄=―V₂舍去）

 

由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。