Question

14．一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验，一个劲度系数为k的轻质弹簧上端与质量为m₁的物体A相连，下端与质量为m₂的物体B相连，开始时 A、B在竖直方向上处于静止状态．现用竖直向上的拉力使 A以大小为a的加速度匀加速运动了时间t，此时B刚好离开地面（已知引力常数G，月球半径为R，不计月球自转）．请你求出：
①月球的质量；
②月球的第一宇宙速度多大？

Answer 1

分析 （1）以B物体受力为突破口，当A以大小为a的加速度匀加速运动了时间t，此时B刚好离开地面时B物体受弹簧的拉力与重力相等，求出A的位移进而求出弹簧的拉力，然后可求出月球表面的重力加速度，再利用月球表面的物体万有引力等于重力即可求出月球的质量．
（2）环绕在月球表面附近做匀速圆周运动的宇宙飞船受的万有引力提供向心力，这样可求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）A、B处于静止状态时，对A物体有：m₁g=kx₁，x₁为弹簧的压缩量，
B刚好离开地面时，对B物体有：m₂g=kx₂，x₂为弹簧的伸长量，
对A物体运用运动学公式有：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得月球表面的重力加速度：$g=\frac{ka{t}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
月球表面的物体重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得月球的质量$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
（2）环绕在月球表面附近做匀速圆周运动时，对宇宙飞船万有引力提供向心力$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R}$
解得月球的第一宇宙速度：v=$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
答：（1）月球的质量为$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$；
（2）月球的第一宇宙速度为$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

点评 此题的关键是正确的分析A、B物体的受力和运动状态，知道B物体刚好离开地面时重力等于拉力，用运动学公式求出重力加速度，突破这一点解题成功了一大半，之后运用重力等于万有引力，万有引力提供向心力即可求解月球的质量、飞船的速率．