Question

如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直平面内的光滑半圆轨道BDC在B处平滑连接，B、C分别为半圆轨道的最低点和最高点，D为半圆轨道的最右端．一个质量m的小物体P被一根细线拴住放在水平轨道上，细线的左端固定在竖直墙壁上．在墙壁和P之间夹一根被压缩的轻弹簧，此时P到B点的距离为x₀．物体P与水平轨道间的动摩擦因数为μ，半圆轨道半径为R．现将细线剪断，P被弹簧向右弹出后滑上半圆轨道，恰好能通过C点．试求：
（1）物体经过B点时的速度的大小？
（2）细线未剪断时弹簧的弹性势能的大小？
（3）物体经过D点时合力的大小？

Answer 1

分析：（1）能到达半圆形轨道最高点的临界条件是v≥

gR

，恰好能通过最高点说明在最高点重力完全提供向心力，依此求解即可；
（2）从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒求解．
（3）物体B到D运用机械能守恒即可求解．

解答：解：（1）由于物体恰好能通过最高点C，则mg=

m v 2 C

R

B到C机械能守恒，则

1

2

mv

2 B

=mg?2R+

1

2

mv

2 C

解得：v_B=

5gR

（2）P到B过程弹力、摩擦力做功，动能定理：
W_弹-mgux₀=

1

2

mv

2 B

解得：W_弹=

5

2

mgR+mgux₀，则弹簧的弹性势能为

5

2

mgR+mgux₀
（3）B到D机械能守恒，则

1

2

mv

2 B

=mgR+

1

2

mv

2 D

D点轨道对物块的支持力N=F_向=

m v 2 D

R

解得：N=3mg，则物体经过D点时合力F_合=

10

mg
答：（1）物体经过B点时的速度的大小为

5gR

；
（2）细线未剪断时弹簧的弹性势能的大小为

5

2

mgR+mgux₀
（3）物体经过D点时合力的大小为

10

mg．

点评：小球刚好到达圆管形轨道最高点的条件是：到达最高点时速度为零；应用动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律即可正确解题．