Question

11．北京正负电子对撞机是国际上唯一高亮度对撞机，它主要由直线加速器、电子分离器、环形储存器和对撞测量区组成，图甲是对撞测量区的结构图，其简化原理如图乙所示：MN和PQ为足够长的水平边界，竖直边界EF将整个区域分成左右两部分，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向里．调节磁感应强度的大小可以使正负电子经过两区域，在测量区内平行于EF方向上进行对撞．经加速后的电子以相同速率分别从注入口C和D同时入射，入射方向平行EF且垂直磁场．已知注入口C、D到EF的距离均为d，边界MN和PQ的间距为12（$\sqrt{2}$-1）d，正、负电子的质量均为m，所带电荷量分别为+e和-e．

（1）试判断从注入口C、D入射的分别是哪一种电子；
（2）若将Ⅱ区域的磁感应强度大小调为B，正负电子以v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率同时入射，则正负电子经过多长时间相撞？
（3）若正负电子仍以v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率同时入射，欲确保正负电子不从边界MN或PQ射出，实现对撞，求Ⅱ区域磁感应强度B_Ⅱ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由左手定则可判定电子的电性；
（2）做出电子射入后的轨迹，由洛伦兹力提供向心力结合周期公式和数学知识联立解得相撞时间；
（3）做出示意图，由洛伦兹力提供向心力结合数学知识得出磁感强度的通式，要保证对撞，正负电子的轨迹既不能超过上下边界，又不能彼此相切，找到需满足的条件，求出B_Ⅱ最小值．

解答 解：（1）由左手定则可知，从C入射的为正电子，从D入射的为负电子；
（2）如图所示

电子在Ⅰ、Ⅱ区域中运动时半径相同，
由牛顿第二定律得：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{0}}$，
因v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$
解得：r₀=（2-$\sqrt{2}$）d，
由cosα=$\frac{d-{r}_{0}}{{r}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：α=45°，
$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{r_0}=（\sqrt{2}-1）d$，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
对撞时间：t=$\frac{1}{2}•\frac{12（\sqrt{2}-1）d}{x}•\frac{3}{8}$T=$\frac{9πm}{2eB}$；
（3）粒子运动轨迹如图所示：

由几何关系，$x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{R_3}＞{R_3}$①
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则有，$q{B_3}{v_2}=m\frac{v_2^2}{R_3}$②
解得：R₃=5（2-$\sqrt{2}$）d（不满足②式，舍去）
将①式换为：12（$\sqrt{2}$-1）d=4x+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}{R}_{3}$
解得：R₃=2（2-$\sqrt{2}$）d
B₃=$\frac{B}{2}$
答：（1）从C入射的为负电子，从D入射的为正电子；
（2）则正负电子经过$\frac{9πm}{2eB}$时间相撞；
（3）Ⅱ区域磁感应强度B_Ⅱ的最小值$\frac{B}{2}$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．