Question

如图，横截面积半径为R的转筒，转筒顶端有一A点，其正下方有一小孔B，距顶端h=0.8m，开始时，转筒的轴线与A点、小孔B三者在同一竖直平面内．现使一小球自A点一速度v=4m/s朝转筒轴线水平抛出，同时转筒立刻以某一角速度匀速转动起来，小球未碰到筒．壁且正好从小孔B穿出，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）转筒半径R；
（2）转筒转动的最小角速度取ω；
（3）转筒转动的角速度能否为10πrad/s．

Answer 1

分析：（1）小球做平抛运动，小球穿出小孔，则在平抛运动的时间内的水平位移为2R．
（2）考虑转筒转动的周期性，在平抛运动的时间内，转筒转过的角度为半周的奇数倍．

解答：解：（1）小球从A点开始做平抛运动，
设小球从A点到进入小孔的时间为t
竖直方向做自由落体运动，h=

1

2

gt2①
水平方向做匀速直线运动，
则2R=vt       ②
由①、②联立解得
R=0.8 m              ③
故转筒半径R为0.8m．
（2）在小球到达小孔的时间t内，圆桶必须恰好转过半周的奇数倍，小球才能钻出小孔
则ωt=（2n+1）π（n=0，1，2…） 
由①可得小球到达小孔的时间
t=0.4s
解得ω=（5n+2.5）πrad/s（n=0，1，2…）
所以转筒转动的最小角速度为2.5πrad/s
（3）因为5n+2.5（n=0，1，2…） 不可能取到10
所以ω=（5n+2.5）πrad/s（n=0，1，2…） 不可能等于10πrad/s．
答：（1）转筒半径R为0.8m；
（2）转筒转动的最小角速度为2.5πrad/s；
（3）转筒转动的角速度不能为10πrad/s．

点评：解决本题的关键知道平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀速直线运动，以及知道转筒转动的周期性．