Question

12．如图所示，质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球（大小不计）．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无机械能损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，已知平板车的质量M：m=4：1，重力加速度为g．求：
（1）小物块Q离开平板车时，二者速度各为多大？
（2）平板车P的长度为多少？
（3）小物块Q落地时与小车的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小球由静止摆到最低点的过程中，绳子的拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，即可由机械能守恒定律求出小球与Q碰撞前瞬间的速度．到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无能量损失，满足动量守恒的条件且能量守恒，由两大守恒定律结合可求出碰撞后小球与Q的速度．小物块Q在平板车P上滑动的过程中，系统的合外力为零，总动量守恒，
即可由动量守恒定律求出小物块Q离开平板车时速度；
（2）小物块Q在平板车P上滑动的过程中，小球的部分动能转化为内能．根据系统的能量守恒求出平板车P的长度．
（3）小物块Q离开平板车做平抛运动，求出小物块从开始运动到落地的水平距离，即为小物块Q落地时距小球的水平距离．

解答 解：（1）对小球运用动能定理得：$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得小球与Q碰撞前的速度为：${v}_{0}=\sqrt{gR}$，
小球与物块Q相撞时，没有能量损失，动量守恒，机械能守恒，则有：
mv₀=mv₁+mv_Q
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}$
解得：v₁=0，v_Q=v₀=$\sqrt{gR}$．
二者交换速度，即小球静止下来，Q在平板车上滑行的过程中，系统的动量守恒，则有：
mv_Q=Mv+m•2v
解得：$v=\frac{1}{6}{v}_{Q}=\frac{\sqrt{gR}}{6}$，
小物块Q离开平板车时，速度为：2v=$\frac{\sqrt{gR}}{3}$
（2）由能的转化和守恒定律，知：
fL=$\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}m（2v）^{2}$
又f=μmg
解得，平板车P的长度为：L=$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物块Q在平板车上滑行过程中，对地位移为s，则有：
-μmgs=$\frac{1}{2}m（2v）^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}$
解得：s=$\frac{4R}{9μ}$．
小物块Q离开平板车做平抛运动，平抛时间为：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
水平距离为：x=2vt=$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．
故Q落地点距小球的水平距离为：s+x=$\frac{4R}{9μ}+\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．
答：（1）小物块Q离开平板车时，二者速度各为$\frac{\sqrt{gR}}{6}、\frac{\sqrt{gR}}{3}$．
（2）平板车P的长度为$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物块Q落地时与小车的水平距离为$\frac{4R}{9μ}+\frac{\sqrt{2gR}}{3}$．

点评 本题采用程序法，逐一分析物体间的相互作用过程，分析得到物体间相互作用时满足的规律：动量守恒、能量守恒等，进而求出要求的物理量．