Question

如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上）．匀强磁场方向与Oxy平面平行，且与x轴的夹角为45°，重力加速度为g．
（1）一质量为m、电荷量为+q的带电质点沿平行于z轴正方向以速度v做匀速直线运动，求满足条件的电场强度的最小值E_min及对应的磁感应强度B；
（2）在满足（1）的条件下，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，求带电质点落在Oxz平面内的位置；
（3）当带电质点沿平行于z轴负方向以速度v通过y轴上的点P（0，h，0）时，改变电场强度大小和方向，同时改变磁感应强度的大小，要使带点质点做匀速圆周运动且能够经过x轴，问电场强度E和磁感应强度B大小满足什么条件？

Answer 1

【答案】分析：（1）带电质点受到重力mg（大小及方向均已知）、洛伦兹力qvB（方向已知）、电场力qE（大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动．根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E_min．根据物体的平衡规律列式即可求解；
（2）撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力沿PM方向并与v方向垂直，大小等于qvB=，故带电质点在与Oxz平面成45°角的平面内作类平抛运动．根据平抛运动的基本公式及运动的合成与分解即可求解；
（3）当电场力和重力平衡时，带点质点才能只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据电场力等于重力，洛伦兹力通过向心力列式即可求解．
解答：解：（1）如图1所示，带电质点受到重力mg（大小及方向均已知）、洛伦兹力qvB（方向已知）、电场力qE（大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动．根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值E_min．根据物体的平衡规律有
qE_min=mgsin45°                     
qvB=mgcos45°
解得                     
B=                        
（2）如图2所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg和电场力qE_min作用，其合力沿PM方向并与v方向垂直，大小等于qvB=，故带电质点在与Oxz平面成45°角的平面内作类平抛运动．
由牛顿第二定律 qvB=ma
解得 a= 
设经时间t到达Oxz平面内的点N（x，y，z），由运动的分解可得
沿v方向  Z=vt
沿PM方向  PM=
又 PM=   
x=htan45°
联立解得 x=h   
z=2 
则带电质点落在N（h，0，2 ）点 
（3）当电场力和重力平衡时，带点质点才能只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动
则有：Eq=mg
得：E=
要使带点质点经过x轴，圆周的直径为
根据qvB=m
得B=
答：（1）电场强度的最小值为，对应的磁感应强度为；
（2）在满足（1）的条件下，当带电质点通过y轴上的点P（0，h，0）时，撤去匀强磁场，带电质点落在Oxz平面内的位置坐标为（h，0，2 ）；
（3）当带电质点沿平行于z轴负方向以速度v通过y轴上的点P（0，h，0）时，改变电场强度大小和方向，同时改变磁感应强度的大小，要使带点质点做匀速圆周运动且能够经过x轴，电场强度E为，磁感应强度为．
点评：本题是带电粒子在复合场中的运动问题，分匀速直线运动、匀速圆周运动和类似平抛运动三种情况进行研究，难道适中．