Question

如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上的O点，挂一根L=3m钓细绳，绳的下端挂一个质量为m=0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为l0N．小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落在墙边．求这个圆柱形屋顶的高度H和半径R．（g取10m/s²）

Answer 1

分析：设绳与竖直方向夹角为θ，则cosθ=

mg

T

=

1

2

，所以θ=60°，小球在绳子断开后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出下落的高度，根据几何关系即可求得H，
根据向心力公式求出绳断时的速度，进而求出水平位移，再根据几何关系可求R．

解答： 解：如图（1）所示，取小球为研究对象，设绳刚要断裂时细绳的拉力大小为T，绳与竖直方向夹角为α，则在竖直方向有：
　　Fcosα=mg，所以cosθ=

mg

T

=

1

2

，所以θ=60°                                                  
　　球做圆周运动的半径r=Lsin60°=3×

3

2

m=

3 3

2

m，
　　O、O′间的距离为：OO′=Lcos60°=1.5m，
　　则O′、O″间的距离为O′O″=H-OO′=H-1.5m．
　　由牛顿第二定律知
　　Tsinθ=m

vA2

r

    解得：vA=

Frsinθ m

=3

5

m/s
　　设在A点绳断，细绳断裂后小球做平抛运动，落在墙边C处．
　　设A点在地面上的投影为B，如答图（2）所示．
    由运动的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
　　由此可得小球平抛运动的时间
　　t=

v2-vA2

g

=0.6s                                                             
　　由平抛运动的规律可知小球在竖置方向上的位移为s_y=

1

2

gt²=H-1.5m，
　　所以屋的高度为H=

1

2

gt²+1.5m=

1

2

×10×0.62m+1.5m=3.3m，
　　小球在水平方向上的位移为s_x=BC=v_At=

9 5

5

m
　　由图可知，圆柱形屋的半径为R=

r2+(BC)2

=4.8m
答：这个圆柱形屋顶的高度H为3.3m，半径R为4.8m．

点评：本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题，难度适中．