Question

如图1所示，电子显像管由电子枪、加速电场、偏转场及荧光屏组成．M、N为加速电板，加速电压为U₀，S₁、S₂为板上正对的小孔．金属板P和Q水平放置，两板的长度和两板间的距离均为l；距右边缘l处有一荧光屏，取屏上与S₁、S₂共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴．电子枪发射质量为m，电荷量为-e的电子，初速度可以忽略，电子经加速电场后从小孔S₂射入偏转场．不计电子重力和电子之间的相互作用．
（1）求电子到达小孔S₂时的速度大小v；
（2）若板P、Q间只存在垂直于纸面向外的匀强磁场，电子刚好经过P板的右边缘后，打在荧光屏上．求磁感应强度大小B和电子打在荧光屏上的位置坐标x；
（3）若板P和Q间只存在电场，板间电压u随时间t的变化关系如图2所示，单位时间内从小孔S₁进入的电子个数为N．电子打在荧光屏上形成一条亮线．若在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同，求2t₀时间内打到单位长度亮线上的电子个数n（忽略电场变化产生的磁场；可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定）．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理可求电子到达小孔S₂时的速度
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，做出在磁场中运动轨迹图，根据几何关系可求磁场强度B和x坐标
（3）电子在偏转电场中做类平抛运动，求出偏转距离x，电子在偏转电场外做匀速直线运动，求出电子打在荧光屏上的位置坐标，根据图象一个周期内电子能从P、Q电场射出的时间t=

2

3

T，从而求出一个周期内打在荧光屏上的电子数，从而求出2t₀时间内打到单位长度亮线上的电子个数

解答：解：（1）根据动能定理eU0=

1

2

mv2
解得：v=

2eU0 m

①
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆运动半径为 R，
在磁场中运动轨迹如图，由几何关系R2=l2+(R-

l

2

)2
解得：R=

5

4

l
根据牛顿第二定律：Bev=m

v2

R

解得：B=

4

5l

2mU0 e

设圆弧所对圆心为α，满足：sinα=

l

R

=

4

5

由此可知：tanα=

4

3

电子离开磁场后做匀速运动，满足几何关系：

x- l 2

l

=tanα
通过上式解得坐标x=

11

6

l
（3）设电子在偏转电场PQ中的运动时间为t₁，PQ间的电压为u

垂直电场方向：l=vt₁②
平行电场方向：x1=

1

2

at12③
此过程中电子的加速度大小 a=

eu

ml

④
①、②、③、④联立得：x1=

ul

4U0

电子出偏转电场时，在x方向的速度    v_x=at₁⑤
电子在偏转电场外做匀速直线运动，设经时间t₂到达荧光屏．则
水平方向：l=vt₂⑥
竖直方向：x₂=v_xt₂⑦
①、⑤、⑥、⑦联立，解得：x2=

ul

2U0

电子打在荧光屏上的位置坐标x=x1+x2=

3l

4U0

u⑧
在2t₀时间内，打到单位长度亮线上的电子个数：
当电子在P、Q电场中的侧移量x₁=

l

2

时，
由x1=

ul

4U0

得：u=2U₀                                 
当偏转电压在0～±2U₀之间时，射入P、Q间的电子可打在荧光屏上．
由图2可知，一个周期内电子能从P、Q电场射出的时间t=

2

3

T=

4t0

3

所以，一个周期内打在荧光屏上的电子数Nt=

4Nt0

3

由⑧式，电子打在荧光屏上的最大侧移量xm=

3l

2

亮线长度L=2x_m=3l                                       
所以，从0～2t₀时间内，单位长度亮线上的电子数n=

Nt

L

=

4Nt0

9l

答：（1）电子到达小孔S₂时的速度大小

2eU0 m

（2）磁感应强度大小为

4

5l

2mU0 e

电子打在荧光屏上的位置坐标为

11l

6

；
（3）2t₀时间内打到单位长度亮线上的电子个数为

4Nt0

9l

点评：本题考查电子在混合场中的运动，根据运动情况做出运动轨迹图，利用数学知识求解，过程复杂，有一定的难度．