Question

（2013?芜湖模拟）如图所示，光滑水平面上有A、B两辆小车，A车内有一半径R=1m的光滑圆轨道，质量m_C=0.5kg可视为质点的小球C置于圆轨道最底端．已知m_A=m_B=1.0kg，开始时，B车静止，A车和C球以v₀=10m/s的速度驶向B车并与其正碰后粘在一起（碰撞时间极短），不计空气阻力．求：
（1）小球C沿轨道上升到最高点时的速度．
（2）小球C沿轨道上升的最大高度．
（3）若小车B的质量为无穷大，小车A与之碰后粘在一起，圆轨道半径R可以调节，要使得碰后小球C能一直不脱离圆轨道，求R的取值范围．

Answer 1

分析：（1）A与B碰撞过程，AB组成的系统动量守恒；AB碰撞后，C在圆轨道上滑行过程，三者组成的系统，水平方向不受外力，系统水平方向的动量守恒，C沿轨道上升到最高点时三者的速度相同，根据系统的动量守恒列式求解；
（2）先根据A与B车相碰的动量守恒，列式求出碰后AB的共同速度．再根据碰后C在圆轨道上滑行过程，系统的机械能守恒列式，求解C沿轨道上升的最大高度．
（3）若小车B的质量为无穷大，A车速度立即减为0，小球C做圆周运动，若恰好不脱离圆轨道，在最高点时，由重力提供向心力；或上升的高度恰为圆心高度，根据向心力公式和机械能守恒定律列式求解．

解答：解：（1）对于整个过程，三个物体组成的系统，水平方向不受外力，水平方向系统的动量守恒，设小球C沿轨道上升到最高点时三个物体的共同速度为v₂．取向左为正方向．则有：
  （m_A+m_C）v₀=（m_A+m_B+m_C）v₂
解得：v₂=

(mA+mC)v0

mA+mB+mC

=6m/s
（2）A与B车相碰过程，AB的动量守恒，则得：m_Av₀=（m_A+m_B）v₁
解得：v₁=5m/s
C在圆轨道上滑行过程，由三个物体组成的系统机械能守恒得：

1

2

m_Cv

2 0

+

1

2

(mA+mB)

v

2 1

=

1

2

（m_A+m_B+m_C）

v

2 2

+m_Cgh
解得：h=1m
（3）小车A与B车相碰后，A车速度立即减为0，小球C做圆周运动，若不脱离圆轨道，则
①上升的高度恰为圆心高度，由机械能守恒：m_CgR=

1

2

mC

v

2 0

解得：R=

v 2 0

2g

=5m；
②碰后小球恰能做完整圆周运动时，在最高点由重力提供向心力，则得：
  在最高点：m_Cg=m_C

v 2 1

R

，得：v₁=

gR

由机械能守恒：m_Cg2R+

1

2

mC

v

2 1

=

1

2

mC

v

2 0

解得：R=2m
结合①②得：R≤2m或者R≥5m．
答：（1）小球C沿轨道上升到最高点时的速度为6m/s．
（2）小球C沿轨道上升的最大高度为1m．
（3）R的取值范围为R≤2m或者R≥5m．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、动量守恒定律，综合性较强，关键要分过程，分段分析和列式．对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．