Question

4．随着我国高速公路的发展，越来越多的人选择开车出行，据观测发现在收费路口经常出现拥堵现象，为此开发了电子不停车收费系统ETC，汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以72km/h的速度沿直线朝收费站正常行驶，如果通过ETC通道，需要在汽车运动到通道口时速度恰好减为4m/s，然后匀速通过总长度为d=16m的通道再加速到原速度后继续行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处速度为零，经过10s的时间缴费以后，再加速到原速度后继续行驶，设汽车减速和加速的过程都是匀变速过程，加速度大小为1m/s²．求：
（1）汽车过ETC通道时从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移；
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间是多少？

Answer 1

分析 汽车过ETC通道包含减速、匀速、加速，分段求解．
通过人工收费通道包含减速、加速．分段求解．汽车减速和加速过程的加速度大小相等，因此所对应的时间和位移相等．

解答 解：（1）汽车过ETC通道时
减速运动的位移为：${x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}-{v}^{2}}{2a}=\frac{{4}^{2}-2{0}^{2}}{2×（-1）}=192m$
加速运动的位移与减速运动相等，总位移为：x=2x₁+d=2×192+16=400m
（2）汽车通过ETC通道时
减速运动的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-v}{a}=\frac{4-20}{-1}=16s$
匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{d}{{v}_{1}}=\frac{16}{4}=4s$
加速运动的时间与减速运动相等
总时间为：t=2t₁+t₂=2×16+4=36s
通过人工收费通道时
减速运动的时间为：${t}_{1}'=\frac{v}{a}=\frac{20}{1}=20s$
${x}_{1}'=\frac{1}{2}a{t}_{1}{'}^{2}=\frac{1}{2}×1×2{0}^{2}=200m$
加速运动的时间和位移均与减速运动相等．
总位移为：x'=2x₁'=400m
总时间为：t'=2t₁'+t₂'=2×20+10=50s
x'=x=400m即汽车通过ETC通道比通过人工收费通道的位移相等．
汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间：△t=t'-t=50-36=14s
答：（1）汽车过ETC通道时从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移为400m；
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间是14s．

点评 考查匀变速直线运动的基本公式处理复杂问题的能力和逆向思维法，复杂运动，分段求解；对于减速运动和加速运动是两个完全相反的运动，它们的时间和位移大小相等．