Question

13．两颗靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某-点O为圆心各自做匀速圆周运动时，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．设双星的质量分别为m₁和m₂，它们之间的距离为L．求双星运行的周期T．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出周期．

解答 解：设双星中质量为m₁的天体轨道半径为r₁，质量为m₂的天体轨道半径为r₂
据万有引力定律和牛顿第二定律，得：
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$…①
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$…②
r₁+r₂=L…③
由①②③联立解得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
${r}_{2}=\frac{{m}_{1}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
再由：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{r}_{1}$，
得：
运行的周期T=$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：双星运行的周期为$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．