Question

如图所示，一根长为L=

3

m的均匀细杆，可绕左端的水平轴O自由转动，杆最初处于水平位置，在杆中点处放有一可视为质点的静止小物体，小物体的质量为m=0.2kg．若此杆突然以角速度ω沿顺时针匀速转动，且要求杆与小物体分开后再次接触．求：
（1）再次接触时小物体所能获得的最大动能．
（2）杆转动角速度ω的取值范围．

Answer 1

分析：（1）杆再次接触物体的临界位置就是杆的端点正好在小物体的正下方，此时杆与水平方向的夹角正好为

π

3

，求此时小物体的动能；
（2）根据杆的位置和转动的周期性，即转过的角度为0＜θ＜

π

3

或2π＜θ＜

7π

3

求出角速度的范围．

解答：解：（1）如图，物体与杆能再次接触的临界状态，

根据几何关系可得：h=

L2-( L 2 )2

=

3

2

L
小物体自由下落的过程中使用动能定理有：mgh=△E_k=E_k2 
即小物体的最大动能  E_k2=0.2×10×

3

2

3

J=3J   
（2）若在杆转过

π

3

角范围内接触，最长时间为
t=

2h g

=

3 10

s    
 角速度ω1=

θ1

t

=1.9rad/s 
即杆的杆速度满足：
0＜ω₁≤1.9rad/s                 
若时间t内杆转过角度＞π弧度也能再次接触小物体，根据几何关系此时转过的最大角度为θ2=

7π

3

角速度至少为
ω2=

θ2

t

=(

π

3

+2π)

10 3

rad/s=13.4rad/s
即满足ω₂＞13.4rad/s
答：（1）再次接触时小物体所能获得的最大动能为3J．
（2）杆转动角速度ω的取值范围为：0＜ω₁≤1.9rad/s  或ω₂＞13.4rad/s

点评：构建物体与杆两次碰撞的模型并能知道能发生两次碰撞的临界条件并展开讨论即可．注意圆周运动的同期性带来的多解问题．