Question

3．如图所示，半径为R、内径很小（可以忽略不计）的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内．A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部压力为0.75mg，重力加速度为g，求A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg+mg=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，解得${v}_{A}=\sqrt{4gR}$，
对B球：mg-0.75mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得${v}_{B}=\sqrt{\frac{1}{4}gR}$，
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
s_A=v_At=${v}_{A}\sqrt{\frac{4R}{g}}=4R$，
s_B=v_Bt=${v}_{B}\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R，
s_A-s_B=3R
即a、b两球落地点间的距离为3R．
答：A、B两球落地点间的距离为3R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．