Question

8．如图所示，为玻璃材料制成的一棱镜的截面图，AEFB为四分之一圆弧，BCDO为矩形，一细光束从圆弧的中点E沿半径射入棱镜后，在圆心O点恰好发生全反射，经CD面反射，再从圆弧的F点射出，已知，OA=a，OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，光在真空中的传播速度为c，求：
（1）从F点射出的光线与法线夹角的正弦值；
（2）从F点射出的光在棱镜中传播的时间．

Answer 1

分析 （1）先作出光路图，根据几何关系得出临界角，由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由几何知识求得光线在F点的入射角，由折射定律求解出射光线与法线夹角的正弦值．
（2）光在棱镜中的传播速度v=$\frac{c}{n}$．由几何知识求出光线在棱镜中传播的距离S，由t=$\frac{S}{v}$求解传播的时间．

解答 解：（1）做出光路图如图．

根据几何关系可知，临界角为C=45°，
根据反射定律得，n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
又 OG=$\sqrt{2}$OD=$\frac{1}{2}$a，sinα=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{1}{2}$
根据折射定律得，n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）光在棱镜中的传播速度 v=$\frac{c}{n}$
由几何知识得，光线传播的路程为 S=a+$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a
光在棱镜中传播的时间 t=$\frac{S}{v}$
所以t=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．
答：
（1）从F点射出的光线与法线夹角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）从F点射出的光在棱镜中传播的时间是$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．

点评 本题的突破口是“光线恰好在圆心O点发生全反射”，根据全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相结合进行处理．分析时，要灵活几何知识求解相关角度和光传播的距离，要加强这方面的训练．