题目内容

16．兵二高一年级何勇老师于2016年5月23日参加了国防科大的“百所名校与国防科大共育强军梦”的论坛．在参观国防科大的重点科研成果“北斗系统”时了解到，北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，已实现2012年覆盖亚太地区，预计2020年左右覆盖全球，现已成功发射23颗卫星．现假设其中一颗“静止轨道卫星”的质量为m，且已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T．求：
（1）该卫星运动的高度；
（2）该卫星运动的线速度．

分析 （1）卫星做圆周运动万有引力提供向心力，地球表面的物体所受重力等于万有引力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出卫星的轨道半径，然后求出卫星的高度．
（2）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出卫星的线速度．

解答 解：（1）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：v=$\sqrt{\frac{g}{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$R；
答：（1）该卫星运动的高度为：$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）该卫星运动的线速度为$\sqrt{\frac{g}{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$R．

点评 本题考查了求卫星的高度、卫星的线速度，考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、万有引力等于重力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．

练习册系列答案
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