Question

宇航员到达某行星表面后，用长为L的细线拴一小球，让球在竖直面内做圆周运动．他测得当球通过最高点的速度为v₀时，绳中张力刚好为零．设行星的半径为R、引力常量为G，求：
（1）该行星表面的重力加速度大小
（2）该行星的质量
（3）在该行星表面发射卫星所需要的最小速度．

Answer 1

分析：（1）由题意知，球通过最高点时只受重力作用，重力提供小球做圆周运动需要的向心力，
由牛顿第二定律列方程可求出重力加速度．
（2）在该行星表面的物体所受到的重力等于物体与行星间的万有引力，由万有引力列方程可求出行星的质量．
（3）卫星绕行星表面最圆周运动的速度是发射卫星的最小速度，由牛顿第二定律列方程可求出该速度．

解答：解：（1）由题意知：球在最高点只受重力作用，设小球的质量为m，
由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 0

L

，解得：g=

v 2 0

L

             ①．
（2）对行星表面的任一物体m′所受到的重力等于物体与行星间的万有引力，
设行星质量为M，则m′g=G

m′M

R2

            ②，
由①②解得行星的质量M=

v 2 0 R2

GL

（3）对卫星，绕行星表面做圆周运动的向心力由万有引力即重力提供，
由牛顿第二定律得：mg=m

v2

R

    ③，由①③解得：v=v₀

R L

．
答：（1）该行星表面的重力加速度大小是

v 2 0

L

．     
（2）该行星的质量是

v 2 0 R2

GL

．
（3）在该行星表面发射卫星所需要的最小速度是v₀

R L

．

点评：本题考查了万有引力与牛顿第二定律的应用，找出物体做圆周运动所需要的向心力，然后由牛顿第二定律列方程求解，是解本题的关键．