Question

（2011?攀枝花三模）如图所示，传送带AB长L=5m，与水平方向的夹角为30°．质量为M=1kg的小木块随传送带一起以v₁=4m/s的速度向下匀速运动（传送带的传送速度恒定），小木块与传送带间刚好不打滑．当小木块运动至最下端A点时，一颗质量为m=0.02kg的子弹，沿平行于传送带方向，以v₀=600m/s的速度正对小木块射入并穿出，穿出速度u=100m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向小木块．设子弹射穿小木块的时间极短，且每次穿过小木块时所受阻力相同（g取10m/s²），小木块与传送带间滑动摩擦力等于最大静摩擦力．求：
（1）在第一颗子弹穿出小木块时，小木块的速度是多大？
（2）小木块被多少颗子弹打穿后能够从传送带B端飞出？飞出速度为多大？
（3）小木块从A点运动到B点过程中，小木块与传送带间的摩擦力做功产生的热量为多少？

Answer 1

分析：（1）子弹射穿木块过程，子弹与木块系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出木块的速度；
（2）子弹第一次射穿木块后，求出木块速度，受力分析后求出加速度，木块这一秒内先减速上升，后加速下降，求出1s后物体的位置和速度，接着分析第二颗子弹射穿的过程，由于1s末的速度刚好等于传送带的速度，故接下来的运动过程是前面的重复，结合题中轨道的长度，就可以解出要求的量；
（3）由于摩擦力大小不变，根据公式Q=f△s，求出木块与皮带间的相对路程，即可以求出热量．

解答：解：（1）第一颗子弹射穿小木块过程中，木块与子弹系统动量守恒mv₀-Mv₁=mu+Mv₂
代入数据解得：v₂=6m/s  方向沿传送带向上  
即在第一颗子弹穿出小木块时，小木块的速度是6m/s，方向沿传送带向上．
（2）由于小木块与传送带刚好不打滑，则有
Mgsin30°=μMgcos30°
小木块沿传送带向上作匀减速运动（向下做匀加速运动）的加速度为
a=

μMgcos300+Mgsin300

M

=2gsin300=10m/s2
小木块速度减小为零所用时间
t1=

v2

a

=

6

10

=0.6s＜1s
所以小木块在被第二颗子弹击中前先沿传送带向上做减速运动，当速度为零时，移动距离为
x1=

v 2 2

2a

=

62

2×10

=1.8m
在第二颗子弹射中木块前，小木块再沿传送带向下做加速运动，时间t₂=t-t₁=1-0.6=0.4s
速度增大为v₃=at₂=4m/s（恰与传送带同速）
沿传送带向下移动的位移为   x2=

1

2

a

t

2 2

=0.8m
所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，小木块总位移x₀=x₁-x₂=1m方向沿传送带向上   
子弹数为N=

L-x1

x0

+1=

5-1.8

1

+1=4.2=5个 
最后一颗子弹穿出小木块后小木块在传送带上前进的距离x₃=L-（N-1）x₀=1m
设小木块离开传送带的速度为v₄，由匀变速运动规律得：v₄²-v₂²=-2ax₃
代入数据解得 v₄=4m/s
即小木块被5颗子弹打穿后能够从传送带B端飞出，飞出速度为4m/s．
（3）最后一颗子弹穿出小木块后小木块在传送带上运动的时间为t₃，则有：v₄=v₂-at₃
小木块与传送带间的摩擦力做功产生的热量Q=W_f=[（N-1）（v₁t+x₀）+x₃+v₁t₃]μMgcos30°
联立以上各式并代入数据得：Q=109J
即小木块从A点运动到B点过程中，小木块与传送带间的摩擦力做功产生的热量为109J．

点评：本题中子弹射穿木块是常见的物理模型，关键在于皮带同时向下匀速运动，要分析清楚物体的受力和运动情况，由于过程较多，要善于在运动过程中发现不变的规律，如本题中物理过程有循环！