Question

如图竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R=0.5m，平台与轨道的最高点等高．一质量m=0.8kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10/m²．试求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度大小v₀；
（2）小球从平台上的射出点A到圆轨道人射点P之间的距离l；（结果可用根式表示）
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析：（1）恰好从光滑圆弧PQ的P点的切线方向进入圆弧，说明到到P点的速度v_P方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离，并进行合成求出位移大小；
（3）根据机械能守恒定律求得Q点速度，再运用牛顿第二定律和圆周运动知识求解．

解答：解：（1）小球从A到P的高度差h=R（1+cos53°）①
小球做平抛运动有     h=

1

2

gt2  ②
则小球在P点的竖直分速度v_y=gt③
把小球在P点的速度分解可得tan53°v₀=v_y    ④
由①②③④解得：小球平抛初速度v₀=3m/s
（2）小球平抛下降高度 h=

1

2

v_yt
水平射程    s=v₀t
故A、P间的距离
l=

h2+s2

=

2 13

5

m  
（3）小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可知v_Q=v₀=3m/s
在Q点根据向心力公式得：
m

vQ2

R

=N+mg
解得；N=m

vQ2

R

-mg=14.4-8=6.4N
根据牛顿第三定律得：小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的压力N′=N=6.4N
答：（1）小球从平台上的A点射出时的速度大小为3m/s；
（2）小球从平台上的射出点A到圆轨道人射点P之间的距离

2 13

5

m；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的压力大小为6.4N

点评：恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．