Question

如图所示，质量为m、长为L的均匀细杆OA，一端通过光滑铰链固定在地面O处，在细杆中点B处系一根细绳，细绳绕过两个光滑定滑轮后悬挂着物体D，物体D的质量为细杆质量的1/3，D离滑轮距离足够远．在外力F的作用下使细杆与地面保持夹角θ为60°，此时细绳CB与杆的夹角也为60°（如图所示）．已知细杆绕O点转动的动能表达式为表示杆的质量，L表示杆的长度，ω表示杆转动的角速度．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，系统（指细杆和物体D）重力势能的变化量．
（3）撤去外力F后，细杆绕O点转到地面的瞬间，物体D的速度大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据力矩平衡条件，当力臂最长时，外力最小．当F作用在A点且与杆垂直斜向上时，F最小．由力矩平衡条件求出F最小值．
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，物体D上升重力势能增大，杆的重心下降，重力势能减小，根据几何知识求出D上升的高度和杆重心下降的高度，进而求出系统（指细杆和物体D）重力势能的变化量．
（3）根据圆周运动知识，研究细杆绕O点转到地面的瞬间杆的角速度与物体D速度的关系，根据机械能守恒定律列方程求解．
解答：解：（1）要使F最小，F必须作用于A点，且方向垂直于杆斜向上．如图．
根据力矩平衡条件得：FL+T=mgcos60°
    又T=
代入解得  F==0.11mg
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，物体D的重力势能增大，杆的重力势能减小，
      由图可知，细杆重心下降了，物体D上升了
          则△E_P=-mg==-0.27mgL
     即系统的重力势能减小了0.27mgL．
（3）设细杆着时角速度为ω，B点着地时速度为v_B，物体D的速度为v_D，则
       v_B=ω?   v_D=v_Bsinθ
根据系统机械能守恒得
    +=-△E_P
代入解得v_D=
答：（1）外力F的最小值为0.11mg．
    （2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，系统重力势能的变化量为-0.27mgL．
    （3）撤去外力F后，细杆绕O点转到地面的瞬间，物体D的速度大小为v_D=．
点评：本题考查力矩平衡与能量守恒定律综合运用的能力，难点在于寻找着地时，物体D与杆上B点速度关系．