Question

2．两颗人造卫星的质量之比m₁：m₂=1：2，轨道半径之比R₁：R₂=3：1．求：
（1）两颗卫星运行的向心力之比．
（2）两颗卫星运行的线速度之比；
（3）两颗卫星运行的周期之比．

Answer 1

分析 根据万有引力充当向心力，产生的效果公式可得出线速度和轨道半径的关系，可得结果；根据圆周运动规律可得线速度和角速度以及半径的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；根据圆周运动规律可得运行周期和角速度之间的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；根据万有引力充当向心力可得向心力和质量以及半径的关系．

解答 解：（1）根据万有引力充当向心力，
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
两颗人造卫星的质量之比m₁：m₂=1：2，轨道半径之比R₁：R₂=3：1．
两颗卫星运行的向心力之比为1：18．
（2）线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
轨道半径之比R₁：R₂=3：1．
两颗卫星运行的线速度之比为1：$\sqrt{3}$，
（3）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
轨道半径之比R₁：R₂=3：1．
两颗卫星运行的周期之比为3$\sqrt{3}$：1，
答：（1）两颗卫星运行的向心力之比为1：18．
（2）两颗卫星运行的线速度之比为1：$\sqrt{3}$；
（3）两颗卫星运行的周期之比3$\sqrt{3}$：1．

点评 此题利用简单的条件考查了人造卫星做圆周运动的线速度，角速度，周期和向心力之比．具有一定的递进性质，可直接利用上一小题的结论简化过程．如果不敢保证成功率，可以每一小题都用万有引力和圆周运动规律的关系来解，不过都和第一小题类似，转换公式的次数较多，且不易合理安排卷面．