Question

如图所示，在xOy坐标的第一象限内分布有垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2.5×10^-2T．在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线垂直y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接，通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压U=

3

3

×102V．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处，有一粒子源S沿x轴正方向连续射出比荷为

q

m

=4.0×106C/kg、速度为v0=2.0×104m/s的带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场，经过磁场偏转后从x轴射出磁场．（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）
（1）当滑动头P在a端时，求粒子在磁场中做圆周运动的半径R₀；
（2）滑动头P的位置不同则粒子在磁场中运动的时间也不同，求粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析：（1）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v₀，根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（2）当粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越长，当滑动头P滑到b端时，偏转电压最大，分析粒子是否打到极板上，若未达到极板上，偏转角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，根据偏转角的大小，结合周期公式求出最长的时间．

解答：解：（1）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v₀，设粒子做圆周运动的半径为R₀，有：
qv0B=m

v02

R0

代入数据解得R₀=0.2m．
（2）设粒子射出极板时的速度大小为v，偏向角为α，粒子在MN间的运动时间为t₀，偏转位移为y，有：
L=v₀t₀，
y=

1

2

?

qUMN

md

t02，
v=

v0

cosα

，
tanα=

vy

v0

=

qUMNt0

mdv0

，
即y=

1

2

Ltanα
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由
qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=

R0

cosα

．
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为O′，与x轴的交点为D，设∠O′DO=β，根据几何关系：

d

2

+y=Rcosα+Rsinβ
代入相关数据得，sinβ=sinα，即β=α．
设粒子在磁场中运动的周期为T，则T=

2πm

qB

，
粒子在磁场中运动的时间为t=

π 2 +2α

2π

?T=

m(π+4α)

2qB

．
由此可知，当粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越长，当滑动头P滑到b端时，
UMN=U=

3

3

×102V，
代入y=

1

2

?

qUMN

md

t02=

qUMNL2

2mdv02

，
得ym=

3

15

m＜0.2m．
所以tanαm=

qUt0

mdv0

=

qUL

mdv02

=

3

3

，
即αm=

π

6

．
所以粒子在磁场中运动的最长时间tm=

5πm

6qB

=

π

12

×10-4s．
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.2m．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为

π

12

×10-4s．

点评：本题考查了带电粒子在电场中的偏转和在磁场中做匀速圆周运动，综合性较强，对数学能力的要求较高，需加强训练．