题目内容

如图所示，在0≤x≤a，0≤y≤2a范围内有垂直于xy平面向内的匀强磁场，在a＜x≤2a，0≤y≤2a范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B．坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向夹角分布在0-90°范围内，已知从（0，2a）处射出的带电粒子在磁场中运动的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．不计粒子重力及粒子之间相互作用，求：
（1）粒子进入磁场中的速度大小？
（2）沿x轴正方向入射的粒子和最后离开磁场的粒子在磁场中运动的时间之差为多少？
分析：（1）由题意画出能从（0，2a）处射出的粒子的轨迹图，由几何关系可得出运动半径，由半径公式可求出粒子进入磁场的速度大小．
（2）根据边界，画出这两种粒子的轨迹图，利用几何关系求出这两种粒子在两个区域的偏转角，分别求出两种粒子运动的时间，即可求出时间差．
解答：解：
（1）根据题意可知，带电粒子的运动轨迹如图一所示，
由几何关系可知rcos
π
4
=a
得：r=
2
a
又因：qv0B=
mv2
r

联立得：v0=
2
qBa
m

（2）由T=
2πr
v0
的粒子偏转周期T=
2πm
qB

沿x轴正方向入射的粒子运动轨迹如图二中的圆弧1，可得：
rcosθ=a
故θ=
π
4

该粒子在磁场中运动时间为t1=2×
1
8
T
由于粒子的偏转半径一定，故在磁场中运动时间最长的带电粒子轨迹所对应的弦长最大，可知从P点射出的带电粒子运动时间最大．
如图二中的弧线2可得2rsin
α
2
=
2
a，
得：α=
π
3

该粒子在磁场中运动时间为：
t2=2×
1
6
T
所求时间间隔为：
△t=t2-t1
得：△t=
T
12
即△t=
πm
6q
．
答：（1）粒子进入磁场中的速度大小为
2
qBa
m
；
    （2）沿x轴正方向入射的粒子和最后离开磁场的粒子在磁场中运动的时间之差为
πm
6q
．
点评：该题考查了磁场边界问题，不同磁场的分界面上，是一种运动的结束，又是另一种运动的开始，寻找相关物理量尤其重要．当然本题还涉及临界问题，寻找临界点的有效方法有轨迹圆的缩放和轨迹圆的旋转．
点粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点
圆心的确定：因洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力总垂直于速度，画出带电粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入磁场和射出磁场的两点）洛伦兹力的方向，其延长的交点即为圆心．或射入磁场和射出磁场的两点间弦的垂直平分线与一半径的交点即为圆心．
半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常是解直角三角形．
运动时间的确定：利用圆心与弦切角的关系计算出粒子所转过的圆心角θ的大小，用公式t=
θ
360
T可求出运动时间．
再者就是要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．
练习册系列答案
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（2010?宁夏）如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤
a2
范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～900范围内．己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小：
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦．

    如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a／2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小：

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

25.

如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；                          （2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.

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