Question

1．如图所示，两根直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的斜面上，两根导轨间距为L．N、Q两点间接一阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放置在导轨上．已知金属杆ab的横截面积为正方形，金属杆ab与导轨垂直，并且金属杆ab与NQ平行，它们间的距离为L，金属杆ab与导轨间的动摩擦因数为μ（μ＞tanθ）．整套装置处于垂直于平面MNQP斜向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B的大小随时间t的变化规律为B=kt，k＞0．导轨和金属杆的电阻可以忽略不计．金属杆与导轨间接触良好，并认为金属杆和导轨间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
（1）磁场变化过程中，金属杆ab静止时，流过电阻R的电流大小I；
（2）从磁场开始变化到金属杆ab所受静摩擦力为零，所经过的时间t；
（3）从磁场开始变化到金属杆ab刚要开始滑动，电阻R上产生的电热Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流I．
（2）金属杆ab所受静摩擦力为零时，安培力与重力沿导轨向下的分力平衡，由平衡条件和B=kt求解时间．
（3）金属杆ab刚要开始滑动，所受的静摩擦力沿导轨向下达到最大值，由平衡条件求出时间，由焦耳定律求电势．

解答 解：（1）闭合电路的感应电动势 E=$\frac{△Φ}{△t}$=kL²；
流过电阻R的电流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{k{L}^{2}}{R}$
（2）设经过时间t，金属杆ab所受的静摩擦力为零，此时杆ab受力如右图所示．
根据平衡条件有 mgsinθ=BIL
将 I=$\frac{k{L}^{2}}{R}$和B=kt代入上式得 t=$\frac{mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{3}}$
（3）设经过时间t′金属杆ab刚要开始滑动，此时磁感应强度为 B′=kt′，此时杆受力如图所示．
由金属杆受力满足：B′IL=mgsinθ+μmgcosθ
将 I=$\frac{k{L}^{2}}{R}$和B′=kt′代入上式得 t′=$\frac{（mgsinθ+μmgcosθ）R}{{k}^{2}{L}^{3}}$
所以电阻R上产生的电热 Q=I²Rt′=（mgsinθ+μmgcosθ）L
答：（1）流过电阻R的电流大小I是$\frac{k{L}^{2}}{R}$；
（2）从磁场开始变化到金属杆ab所受静摩擦力为零，所经过的时间t是$\frac{mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{3}}$；
（3）从磁场开始变化到金属杆ab刚要开始滑动，电阻R上产生的电热Q是（mgsinθ+μmgcosθ）L．

点评 解决本题电磁感应与力学的综合题，关键要正确分析受力情况，把握杆刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大．结合法拉第定律、欧姆定律和平衡条件解答．