Question

如图所示，质量m=1.0kg的物体，放在足够长的固定斜面底端，斜面倾角θ=37°，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25．在通过细线用平行斜面向上的恒定拉力F=12.0N，将物体由静止开始沿斜面向上拉动的过程中，经过时间t₁=2.0s，细线突然断了．求：
（1）细线断开时，物体运动速度v₁的大小；
（2）从细线断开到物体返回斜面底端所用时间t．

Answer 1

分析：（1）物体在拉力F作用下沿斜面方向做匀加速直线运动，分析受力情况：重力mg、拉力F、支持力N、滑动摩擦力f，作出力图．物体垂直斜面方向处于平衡状态，根据力的正交分解法，由牛顿第二定律列方程求出加速度．再由速度公式求出细线断开时，物体运动速度v₁的大小．
（2）细线断开后，物体受到重力mg、支持力N、滑动摩擦力f，作出力图，根据由牛顿第二定律求出加速度，由速度公式求出上滑的时间，由速度-位移关系式求出上滑的位移．由位移公式求出匀加速运动上滑的位移，得到物体沿斜面上滑的总位移．物体滑到最高点后，沿斜面向下做匀加速运动，受到重力、支持力和滑动摩擦力，作出力图，由牛顿定律求出加速度．由于下滑与上滑的位移大小相等，再由位移公式求出下滑的时间，最后求出细线断开到物体返回斜面底端所用时间t．

解答：解：
（1）物体在拉力F作用下沿斜面向上运动，受力如答图1：重力mg、拉力F、支持力N、滑动摩擦力f．
由牛顿第二定律得
   F-mgsinθ-f=ma₁
   N-mgcosθ=0
又f=μN　　　　
联立得：a1=

F-mgsinθ-μmgcosθ

m

=4.0 m/s²
所以细线断开时，物体速度的大小：v₁=a₁t₁=4.0×2.0=8.0m/s　
（2）细线刚断开时，物体上滑的位移为：x1=

1

2

a1

t

2 1

=

1

2

×4.0×(2.0)2=8.0 m
细线断开后物体沿斜面向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律得
-mgsinθ-f=ma₂
   N-mgcosθ=0
   又f=μN   联立得到a₂=-gsinθ-μgcosθ=-8.0 m/s²　　
由v_t=v₀-at，解得物体做匀减速运动到停止的时间：t2=

v1

a2

=

8.0

8.0

s=1.0 s
由v_t²-v₀²=-2ax，解得匀减速运动到停止的位移：x2=

v 2 1

2a2

=

(8.0)2

2×8.0

=4.0m　　
物体沿斜面向下做匀加速运动，由牛顿第二定律得
  f-mgsinθ=ma₃
N-mgcosθ=0
又f=μN   解得a₃=μgcosθ-gsinθ=-4.0 m/s²　
设物体下滑的时间为t₃，则x3=x1+x2=

1

2

a3

t

2 3

代入数据，解得：t3=

6

=2.45 s　　
所以从细线断开到物体返回斜面底端所用时间为：t=t₂+t₃=3.45s　　　
答：从细线断开到物体返回斜面底端所用时间为3.45s．

点评：本题应用牛顿第二定律与运动学公式结合解决复杂的动力学问题，也可以运用动量定理和动能定理结合求解．