Question

如图所示，线的上端固定，下端系一小球，将小球与线拉在同一水平位置后从静止开始释放，求:

小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时，小球所受的重力的功率最大。（用反三角函数表示）

Answer 1

试题分析： 设摆线长为l，小球的摆线运动到与水平方向成θ角度时，小球所受的重力的功率最大，此时小球的速度为，由几何关系知，重力mg与速度v的夹角等于θ，根据功率定义得：
由动能定理得：
以上两式联立解得：
令，，因θ是锐角，所以，对求导得：
令得：或
由导数图像得处取最大值。
所以当时，球所受的重力的功率最大
另解：设摆线长为l，小球的摆线运动到与水平方向成θ角度时，小球所受的重力的功率最大，此时小球的速度为，竖直分速度为，根据功率定义得：
由动能定理得：
根据牛顿第二定律得：
沿水平方向和竖直方向进行正交分解，当时，竖直方向速度有最大值，小球所受的重力的功率有最大值。
以上各式联立解得：　　　
故小球的摆线运动到与水平方向成角度时，小球所受的重力的功率最大。