Question

4．如图所示，两个$\frac{1}{4}$圆弧形轨道竖直固定，相切于最低点P，⊙O₂的半径是⊙O₁半径R的两倍，圆心O₁、O₂与P点在同一竖直线上，以速率v₁、v₂水平抛出a、b两个质量相同的小球（均为质点），两小球恰好在P点相遇．若a、b两小球落在P点时的速度方向与竖直方向的夹角分别为α、β，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）

• A． v₂=$\sqrt{2}$v₁
• B． b球比a球先抛出的时间为$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． tanα=tanβ
• D． b球落在P点时重力的瞬时功率是a球落在P点时重力的瞬时功率的2倍

Answer 1

分析 抛出后小球做平抛运动，在水平方向应用匀速运动规律，在竖直方向应用自由落体运动规律求出两球的初速度关系，应用速度的分解可以求出小球落地时速度方向夹角的正切值，然后应用功率公式与应用平抛运动规律分析答题．

解答 解：小球做平抛运动；
A、竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$$\sqrt{\frac{R}{2R}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\frac{R}{{t}_{a}}}{\frac{2R}{{t}_{b}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，则v₂=$\sqrt{2}$v₁，故A正确；
B、b球比a球先抛出的时间为：△t=t_b-t_b=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$-$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=（$\sqrt{2}$-1）$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故B错误；
C、tanα=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{y1}}$=$\frac{{v}_{1}}{g\sqrt{\frac{2R}{g}}}$，
tanβ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{y2}}$=$\frac{{v}_{2}}{g\sqrt{\frac{4R}{g}}}$=$\frac{{v}_{1}}{g\sqrt{\frac{2R}{g}}}$，
则tanα=tanβ，故C正确；
D、落地时重力的瞬时功率：
P_a=mgv_ya=mg×g$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=mg$\sqrt{2gR}$，
P_b=mgv_yb=mg×g$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{2}$mg$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2}$P_a，故D错误；
故选：AC．

点评 本题是一道力学综合题，难度较大，分析清楚小球的运动过程，应用平抛运动规律、运动的合成与分解、功率公式P=Fvcosα可以解题．