Question

8．如图甲所示，质量为M=0.5kg的木板静止在光滑水平面上，质量为m=1kg的物块以初速度v₀=4m/s滑上木板的左端，物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2，在物块滑上木板的同时，给木板施加一个水平向右的恒力F．当恒力F取某一值时，物块在木板上相对于木板滑动的路程为s，给木板施加不同大小的恒力F，得到$\frac{1}{s}$-F的关系如图乙所示，其中AB与横轴平行，且AB段的纵坐标为1m^-1．将物块视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）物块在木板上滑动时的加速度多大？
（2）若恒力F=0，则物块会从木板的右端滑下，求物块在木板上滑行的时间是多少？
（3）图乙中BC为直线段，求该段恒力F的取值范围及$\frac{1}{s}$-F函数关系式．

Answer 1

分析 （1）对物块进行受力分析，结合牛顿第二定律求出加速度；
（2）若恒力F=0，则物块会从木板的右端滑下，分别对物块与木板进行受力分析，结合牛顿第二定律求出加速度，然后由相对位移关系即可求出；
（3）由图象可看出当F小于某一值时，m物体在板上的路程始终等于板长S，当F等于某一值时，刚好不从木板右端掉下，此后一起相对静止并加速运动，根据牛顿第二定律及运动学基本公式，抓住位移之间的关系列式，联立方程求出B在A上相对A向右运动的路程S与F、v₀的关系式，把S=1m带入即可求解F；
当F₁≤F≤_F2时，随着F力增大，S减小，之后，出现S突变，说明此时物块、木板在达到共同速度后，恰好再次发生相对运动，物块将会从木板左端掉下．
当二者恰好发生相对运动时，木板的加速度与整体加速度相同，由牛顿第二定律列式即可求．

解答 解：（1）物块只受水平向左的滑动摩擦力，设物块的加速度大小为a_m，由牛顿第二定律F=ma，即μmg=ma_m，
解得：${a}_{m}=μg=2m/{s}^{2}$．
（2）若恒力F=0，木板只受水平向右的滑动摩擦力，设木板的加速度大小为a_M，由牛顿第二定律F=ma，即μmg=Ma_M，
解得：${a}_{M}=4m/{s}^{2}$．
即物块向右做匀减速直线运动，木板向右做匀加速直线运动，当物块从木板的右端滑下时，x_物-x_木=L
由位移时间关系$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，可知${x}_{物}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}$，${x}_{木}=\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
由图乙知，板长L=1m，所以可得：$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$，
代入数据解得：${t}_{1}=\frac{1}{3}s$，t₂=1s
当t=1s时，滑块的速度为2m/s，木板的速度为4m/s，而当物块从木板右端滑离时，滑块的速度不可能小于木板的速度，所以t=1s舍去，故所求时间为$t=\frac{1}{3}s$．
（3）①当F较小时，物块将从木板右端滑下，当F增大到某一值时物块恰好到达木板的右端，且两者具有共同速度v，历时t₁，
在此过程中，设木板的加速度为a_M′，由牛顿第二定律F=ma，知 F+μmg=Ma_M′，小物块的加速度不变．
当两者共速时，v=v₀-a_mt₁=a_Mt₁，$s=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}-\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$，
联立解得：$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$
由图乙知，相对路程：s≤1m，代入解得：F≥1N．
②当F继续增大时，物块减速、木板加速，两者在木板上某一位置具有共同速度；当两者共速后能保持相对静止（静摩擦力作用）一起以相同加速度a做匀加速运动，把两个物体看成一个整体，由牛顿第二定律F=ma，可知F=（M+m）a
又f=ma，由于静摩擦力存在最大值，所以：f≤f_max=2N，
联立解得：F≤3N       
 由以上可知BC段恒力F的取值范围是1N≤F≤3N，$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$  
答：（1）物块在木板上滑动时的加速度为2m/s²．
（2）若恒力F=0，则物块会从木板的右端滑下，求物块在木板上滑行的时间是$\frac{1}{3}$s．
（3）图乙中BC为直线段，该段恒力F的取值范围是1N≤F≤3N，$\frac{1}{s}$-F函数关系式为$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$．

点评 本题考查的是牛顿运动定律中典型的滑块模型，滑块问题的解决非常灵活多变，特别是摩擦力的分析，都是难点所在，本题通过图象来分析滑块的运动，能从图中读懂物体的运动非常关键．