Question

如图所示，一光滑绝缘圆管轨道位于竖直平面内，半径为0.2m．以圆管圆心O为原点，在环面内建立平面直角坐标系xOy，在第四象限加一竖直向下的匀强电场，其他象限加垂直于环面向外的匀强磁场．一带电量为+1.0C、质量为0.1kg的小球（直径略小于圆管直径），从x坐标轴上的b点由静止释放，小球刚好能顺时针沿圆管轨道做圆周运动．（重力加速度g取10m/s²）
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）若第二次到达最高点a时，小球对轨道恰好无压力，求磁感应强度B；
（3）求小球第三次到达最高点a时对圆管的压力．

Answer 1

分析：（1）因为小球刚好能绕圆管做圆周运动，则在最高点的速度为零，根据动能定理求出匀强电场的电场强度．
（2）根据动能定理求出第二次到达最高点的速度，抓住重力和洛伦兹力的合力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）根据动能定理求出第三次到达最高点的速度，根据径向的合力提供向心力求出圆管对小球的作用力，从而得出小球对圆管的压力．

解答：解：（1）小球第一次刚好过最高点，此时速度v₁=0
根据动能定理得，qER-mgR=0                                     
∴E=

mg

q

=1N/C                                         
（2）小球第二次过最高点是速度为v₂，由动能定理可知2qER-mgR=

1

2

m

v

2 2

又   mg+qv2B=m

v 2 2

R

．
以上两式可解得   B=

m

q

g 2R

=0.5T             
（3）小球第三次过最高点时速度为，小球受圆管向下的压力为F_N
3qER-mgR=

1

2

m

v

2 3

mg+qv3B+FN=m

v 2 3

R

解得   FN=(3-

2

)mg=(3-

2

)N                    
根据牛顿第三定律可知
小球第三次到达最高点a时对圆管的压力为(3-

2

)N 方向竖直向上．
答：（1）匀强电场的电场强度为1N/C．（2）磁感应强度B为0.5T．（3）小球第三次到达最高点a时对圆管的压力为(3-

2

)N，方向竖直向上．

点评：解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合动能定理和牛顿第二定律进行求解．