Question

（2009?河西区模拟）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：
（1）求推力对小球所做的功．
（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最小功为多少．
（3）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少．

Answer 1

分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；
（3）根据功与x的关系式，运用数学知识求解力最小时x的值及最小的力．

解答：解：（1）由题意，质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，则
在水平方向：x=v_Ct     ①
竖直方向上：2R=

1

2

gt² ②
解①②有   v_C=

x

2

g R

  ③
对质点从A到C，由动能定理有
  W_F-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

  ④
解得  W_F=

mg(16R2+x2)

8R

     ⑤
（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 W_F=mg?2R+

1

2

m

v

2 C

，则知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，
由牛顿第二定律有
  mg=

mυ2

R

，则  v=

Rg

  ⑥
由③⑥有

x

2

g R

=

Rg

，解得x=2R时，W_F最小，最小的功W_F=mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

5

2

mgR．                       
（3）由⑤式W_F=mg（

16R2+x2

8R

），W=Fx
则得  F=

1

8

mg（

16R

x

+

x

R

）                                                      
因

16R

x

＞0，x＞0，
由极值不等式有
当

16R

x

=

x

R

时，即x=4R时，

16R

x

+

x

R

=8，最小的力F=mg．                       
答：（1）推力对小球所做的功是

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x等于2R时，完成上述运动所做的功最少，最小功为

5

2

mgR．
（3）x取4R时，完成上述运动用力最小，最小力为mg．

点评：本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为

gR

，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．