Question

12．如图（a），木板OA可绕轴O在竖直平面内转动，木板上有一质量为m=1kg的物块，始终受到平行于斜面、大小为8N的力F的作用．改变木板倾角，在不同倾角时，物块会产生不同的加速度a，如图（b）所示为加速度a与斜面倾角的关系图线．已知物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.2，假定物块与木板间的最大静摩擦力始终等于滑动摩擦力．求：（g取10m/s²，sin37?=0.6，cos37?=0.8）

（1）图线与纵坐标交点a₀的大小；
（2）图线与θ轴重合区间为[θ₁，θ₂]，木板处于该两个角度时的摩擦力指向何方？在斜面倾角处于θ₁和θ₂之间时，物块的运动状态如何？
（3）如果木板长L=2m，倾角为37°，物块在F的作用下由O点开始运动，为保证物块不冲出木板顶端，力F最多作用多长时间？

Answer 1

分析 （1）纵坐标交点表示木板水平放置时的加速度，根据牛顿第二定律即可求解；
（2）当摩擦力沿斜面向下且加速度为零时木板倾角为θ₁，当摩擦力沿斜面向上且加速度为零时木板倾角为θ₂，这时物块处于静止状态；
（3）根据牛顿第二定律分别求出有F和撤去F时的加速度，根据匀变速直线运动的基本公式求出这两个过程的位移，根据两段位移之和为L求解．

解答 解：（1）当木板水平放置时，物块的加速度为a₀
此时滑动摩擦力　f=μN=μmg=0.2×1×10 N=2N　
由牛顿第二定律F-f=ma₀，
求得a₀=$\frac{F-f}{m}=\frac{8-2}{1}$ m/s²=6m/s²
（2）当木板倾角为θ₁时，摩擦力沿斜面向下 
当木板倾角为θ₂时，摩擦力沿斜面向上 
当θ角处于θ₁和θ₂之间时物块静止    
（3）力F作用间间最多时，撤去力后物块滑到斜面顶端时速度恰好减小到零．
设力F作用时物块的加速度为a₁，由牛顿第二定律得
${a}_{1}=\frac{F-mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=$\frac{8-10×0.6-0.2×10×0.8}{1}m/{s}^{2}=0.4m/{s}^{2}$．
撤去力F后物块的加速度大小为a₂，由牛顿第二定律
${a}_{2}=\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=$\frac{10×0.6+0.2×10×0.8}{1}m/{s}^{2}=7.6$m/s²　 　
设物块不冲出木板顶端，力F最长作用时间为t
则撤去力F时的速度v=a₁t
由题意有 $L={s}_{1}+{s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+\frac{{{a}_{1}}^{2}{t}^{2}}{2{a}_{2}}$．
由以上各式得　t=$\sqrt{\frac{2{a}_{2}L}{{a}_{1}（{a}_{1}+{a}_{2}）}}=\sqrt{\frac{2×7.6×2}{0.4×（0.4+7.6）}}s≈3.1s$．
答：（1）图线与纵坐标交点a₀的大小为6m/s²；
（2）当木板倾角为θ₁时，摩擦力沿斜面向下，当木板倾角为θ₂时，摩擦力沿斜面向上，当θ角处于θ₁和θ₂之间时物块静止．
（3）为保证物块不冲出木板顶端，力F最多作用3.1s．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能根据图象得出有效信息，难度适中．