Question

如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从ab位置以初速度v₀垂直于导轨向右运动，则

（1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热．
（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值．
（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）外力F所做的功等于杆子动能的增加量和整个回路产生的热量，根据功能关系求出产生的焦耳热．
（2）根据切割产生的感应电动势以及闭合电路欧姆定律分别求出在宽间距和窄间距轨道上运动时所受的安培力，从而根据平衡得出外力的大小，求出整个过程中外力所做的功．
根据电流有效值的定义，求出直流电在这段过程中产生的焦耳热，焦耳热等于外力做的功，知求出的直流电为该电路中电流的有效值．
（3）分别对宽间距和窄间距轨道运动牛顿第二定律和速度时间公式，通过微分的方法求出速度的变化量，从而得出运动到cd位置时的速度大小．

解答：解：（1）设产生的焦耳热为Q，由功能关系有9FL=Q+(

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

)
解得  Q=9FL+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2
（2）导体棒在宽间距和窄间距轨道上运动时，电路中产生的感应电流分别为I1=

2BLv0

R

      I2=

BLv0

R

导体棒受到的拉力分别为F₁=F_安=2BI₁L    F₂=BI₂L 
拉力做功分别为  W₁=3F₁LW₂=6F₂L
则水平拉力做的功 W=W1+W2=

18B2L3v0

R

设电流的有效值为I，由功能关系有W=I²Rt
其中  t=

9L

v0

解得  I=

2 BLv0

R

（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为△v₁和△v₂，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在t～t+△t时间内有△v=

F

m

△t
则  △v1=Σ

2BL

m

I△t
而△q=I△tq1=

. E

R

?△t1=

△?1

R

则  △v1=

4B2L3

Rm

同理  △v2=

2B2L3

Rm

所以导体棒运动到cd位置时的速度大小v′=v0-3(△v1+△v2)=v0-

18B2L3

mR

．
答：（1）在此运动的过程中电路产生的焦耳热为Q=9FL+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2．
（2）水平拉力做的功

18B2L3v0

R

，电路中电流的有效值I=

2 BLv0

R

．
（3）运动到cd位置时的速度大小v0-

18B2L3

mR

．

点评：本题综合考查了闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式、功能关系、牛顿第二定律等知识，综合性较强，尤其第三问，需采用微分思想解决，对学生的能力要求较高．