Question

3．“神州”六号飞船在预定轨道上飞行，每绕地球一周需要时间T（约90min），每圈飞行路程约为L．已知地球的半径为R，地球自转周期为Tn以及万有引力常量G．（计算结果直接用已知物理量表示）
（1）试根据以上数据估算地球的质量和密度；
（2）假设飞船沿赤道平面自西向东飞行，飞行员会看到太阳从东边还是西边出来？
（3）如果太阳直射赤道，试着估算飞行员每天能看到多少次日出日落？
（4）飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有多长？

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，其中r=$\frac{L}{2π}$，化简可得地球的质量．
根据密度的定义式求得密度．
地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出来．

解答 解：（1）由L=2πr可得  r=$\frac{L}{2π}$
飞船绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
M=$\frac{1}{G}$×$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{L}^{3}}{2G{πT}^{2}}$，
根据密度的定义式得
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{3L}^{3}}{{{{8Gπ}^{2}R}^{3}T}^{2}}$，
（2）地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出来．
（3）地球自转的周期为24h，地球自转一周，飞船运转24×$\frac{60}{90}$=16圈，飞船运转一圈能看到一次日出日落，所以飞行员每天能看到16次日出日落．

（4）飞船转到地球的背影区飞行员就看不到太阳（如上图所示）．
由图可知sinα=$\frac{R}{r}$=0.95，
则α=71.8⁰
飞行员每转一圈看不见日出的时间为t=$\frac{71.8°×2}{360°}$×90min≈36min．
答：（1）地球的质量是$\frac{{L}^{3}}{2G{πT}^{2}}$，密度是$\frac{{3L}^{3}}{{{{8Gπ}^{2}R}^{3}T}^{2}}$；
（2）假设飞船沿赤道平面自西向东飞行，飞行员会看到太阳从东边出来．
（3）如果太阳直射赤道，试着估算飞行员每天能看到16次日出日落；
（4）飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有36min．

点评 解答本题知道飞船所受的万有引力提供向心力，利用周期与轨道半径表示向心力，然后结合万有引力定律求解．