Question

（2009?盐城模拟）一个半径R为0.6m的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上，O为圆心，A为半圆环左边最低点，C为半圆环最高点．环上套有一个质量为1kg的小球甲，甲可以沿着细环轨道在竖直平面内做圆周运动．在水平桌面上方固定了B、D两个定滑轮，定滑轮的大小不计，与半圆环在同一竖直平面内，它们距离桌面的高度均为h=0.8m，滑轮B恰好在O点的正上方．现通过两个定滑轮用一根不可以伸长的细线将小球甲与一个质量为2kg的物体乙连在一起．一开始，用手托住物体乙，使小球甲处于A点，细线伸直，当乙由静止释放后．
（1）甲运动到C点时的速度大小是多少？
（2）甲、乙速度相等时，甲距离水平桌面的高度是多少？
（3）甲、乙速度相等时，它们的速度大小是多少？（结果可以用根式表示）

Answer 1

分析：（1）甲运动到C点时，乙的速度为零，对系统运用动能定理求出甲运动到C点时的速度大小．
（2）当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等，根据几何关系求解甲距离水平桌面的高度，对系统运用动能定理或机械能守恒定律求出甲、乙速度相等时的速度大小．

解答：解：（1）根据几何关系得：LAB=

h2+R2

=

0.82+0.62

m=1m
甲运动到C点时，甲的速度方向水平向右，所以乙的速度为零，对系统运用动能定理得：
 m乙g(LAB-LBC)-m甲gR=

1

2

m甲

v

2 甲

解得：v甲=

2[2×10(1-0.2)-1×10×0.6] 1

m/s=4.47m/s
（2）当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等，此时甲球到达A'点，离开桌面的距离为d
根据几何关系得：LBA′=

h2-R2

=

0.82-0.62

m=0.53m
 解得：d=

R2

h

=

0.62

0.8

m=0.45md=

R2

h

=

0.62

0.8

m=0.45m
（3）由机械能守恒可得   m乙g(LAB-LBA′)-m甲gd=

1

2

(m甲+m乙)

v

2 甲

解得：v甲=

2[m乙g(LAB-LBA′)-m甲gd] m甲+m乙

=

2[2×10(1-0.53)-1×10×0.45] 1+2

m/s=1.81m/s  
答：（1）甲运动到C点时的速度大小是4.47m/s；
（2）甲、乙速度相等时，甲距离水平桌面的高度是0.45m；
（3）甲、乙速度相等时，它们的速度大小是1.81m/s．

点评：本题以系统为研究对象，运用动能定理，注意甲运动到C点时，乙的速度为零，当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等．