Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在着方向相反的两个匀强磁场区域，其中圆心在坐标原点、半径为R的圆形区域Ⅰ内磁场方向垂直于xOy平面向里，第一象限和第四象限的圆形区域外（区域Ⅱ）的磁场方向垂直于xOy平面向外，MN为与x轴垂直且与y轴相距2.5R的一条直线，现有一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，经过加速电压为U的加速电场加速后，从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，并从横坐标为0.5R处的P点进入区域Ⅱ．已知粒子第一次经过直线MN和第二次经过直线MN时的速度方向恰好相反，不计粒子重力，求：
（1）粒子进入圆形区域Ⅰ时的运动速度v的大小；
（2）区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小；
（3）粒子从A点开始到第二次经过直线MN的过程中运动的总时间t．

Answer 1

分析：（1）直线加速过程，根据动能定理列式求解即可；
（2）粒子从A点垂直射入磁场，从P点射出，故圆心是过A点垂直AO的线与AP的中垂线的交点，求解出半径后，根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度；进入区域Ⅱ后依然做匀速圆周运动，圆心是经过P点和圆心1的连线与直线MN的交点，求解出半径后，根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度；
（3）根据公式t=

θ

2π

T列式求解圆周运动的时间．

解答：解：（1）直线加速过程，根据动能定理，有：
qU=

1

2

mv²
解得：
v=

2qU m

 
（2）粒子的轨迹如图：

由于P点的横坐标为0.5R，故：
sinθ=

0.5R

R

=

1

2

，θ=30°
由图可知：
R₁=

R

tan30°

=

3

R
R₂=

2.5R-0.5R

cos30°

=

4

3

3

R
由qvB₁=m

v2

R1

得：
B₁=

mv

qR1

=

6qmU

3qR

同理可得：
B₂=

mv

qR2

=

6qmU

4qR

（3）由T=

2πr

v

得：
T=

2πm

qB

t₁=

1

6

T=

πm

3qB1

t₂=

2

3

T=

4πm

3qB2

t=t₁+t₂=

19πR

18qU

6mqU

答：（1）粒子进入圆形区域Ⅰ时的运动速度v的大小为

2qU m

；
（2）区域Ⅰ中磁感应强度B₁的大小为

6qmU

3qR

，区域Ⅱ中磁感应强度B₂的大小为

6qmU

4qR

；
（3）粒子从A点开始到第二次经过直线MN的过程中运动的总时间t为

19πR

18qU

6mqU

．

点评：本题关键明确粒子的运动规律，找出圆心，确定半径，画出粒子的运动轨迹，然后结合牛顿第二定律列式求解．