Question

在光滑的水平面上放一质量为M，边长为b的立方体木块，木块上搁有一根长为L的光滑轻质杆，杆端固定一质量为m的匀质小球，另一端用光滑铰链连接于地面上O点，棒可绕O点在竖直平面内自由转动，如图所示，设杆与水平面间夹角α₁，无初速地推动木块右滑，当杆与水平面间夹角变为α₂（α₂＜α₁）时，木块的速度是多少？

Answer 1

分析：以轻杆、小球和木块组成的系统为研究对象，系统的机械能守恒，以地面为零势能平面，列式开始时和夹角变为α₂时重力势能与动能的表达式，根据机械能守恒列出方程．
再将滑块上与杆接触的点的速度沿着平行杆和垂直杆正交分解，垂直杆分量等于杆上与滑块接触的点的速度得到木块的速度与小球的速度的关系．即可求得木块的速度．

解答：解：以地面为零势能平面．开始时：E₁=mgLsina₁+Mg

b

2

杆与水平面间夹角变为a₂时：E_p2=mgLsina₂+Mg

b

2

设此时木块的速度为v_m，杆上与木块接触点p绕O轴转动的线速度v₁
如图所示：v₁=v_Msina₂
因杆上各点绕O轴转动的角速度相同，此时小球的线速度为v_m，
ω=

vm

L

=

v1

b sinα2

=

v1sinα2

b

∴v_m=

L

b

v1sinα2=

L

b

v_Msin²α₂
系统动能为：E_k2=

1

2

M

v

2 M

+

1

2

m

v

2 m

=

1

2

(M+

mL2

b2

sin4α2)

v

2 M

由机械能守恒定律可得：E₁=E_p2+E_k2
可得：v_M=b

2mgL(sinα1-sinα2) Mb2+mL2sin4α2

答：木块的速度是b

2mgL(sinα1-sinα2) Mb2+mL2sin4α2

．

点评：本题是系统的机械能守恒问题，关键找准合运动和分运动，求出木块与小球速度的关系．