Question

过山车是游乐场中常见的设施．某校物理兴趣小组自制过山车的简易模型，如图所示，它由水平轨道和在竖直平面内的圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，半径分别是R₁=2.0m、R₂=1.4M，DE段是一半径为R₃=1.0m的四分之一光滑圆弧轨道，它与水平轨道平滑连接，D点为圆弧的最高点，一个质量为M=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m．C、D间距S=15.0m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）如果小球从第二圆形轨道运动到水平轨道的D点时，能否沿DE圆弧轨道滑下？若不能请说明理由．

Answer 1

分析：对小球的运动过程进行分析．运用动能定理求出小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度，再对小球在第一个圆轨道的最高点进行受力分析，并利用牛顿第二定律求出轨道对小球作用力．知道小球恰能通过圆形轨道的含义，并能找出在第二圆形轨道的最高点速度．运用动能定理研究某一运动过程求出B、C间距L．

解答：解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁根据动能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀² …①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：
F+mg=m

mv 2 1

R1

… ②
由 ①、②得：F=10.0 N…  ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由小球恰能通过第二圆形轨道有：
mg=m

mv 2 2

R2

…④
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²…⑤
由④、⑤得：L=12.5m…⑥
（3）不能，
设小球运动到D点时速度为v_D根据动能定理可得：
-μmg（L₁+L+S）=

1

2

mv_D²-

1

2

mv₀² ①
 可得v_D²=10，在D点恰好通过
mg=

mv 2 D

R3

则物体对水平面D点无压力N=0，由此物体只受重力作用，以V_D水平速度平抛．
答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小是10.0 N；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m 
（3）如果小球从第二圆形轨道运动到水平轨道的D点时，不能沿DE圆弧轨道滑．

点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．