Question

一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和 B．支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，不计任何阻力．转动中设OA边与水平方向的夹角为θ，则当A球速度达最大时θ为______；假定支架未转动时两小球的总重力势能为E_o，转动中当A的速度为______时两小球的总重力势能为E_o/3．

Answer 1

根据题意知，A、B两球的角速度相等，线速度之比等于转动半径之比，为2：1，小球A、B系统中，只有重力势能和动能相互转化，系统机械能守恒，假设转动θ，则OA杆与水平方向的夹角为θ，则A球减小的机械能等于B球增加的机械能，有
mg?2l?sinθ-2mg?（l-lcosθ）=

1

2

mv2+

1

2

?2m?(

v

2

)2
解得
v=

8 3 gl(sinθ+cosθ-1)

由数学知识知，当θ=45°时，sinθ+cosθ有最大值，故当θ=45°时，A球的速度最大；
重力势能减小

2

3

E0，故动能增加

2

3

E0，有

2

3

E0=

1

2

m

v

21

+

1

2

?2m?(

v1

2

)2
解得
v₁=

8E0 9m

故答案为：45°，

8E0 9m

．