Question

8．如图所示，水平的粗糙轨道与竖直的光滑圆形轨道相连，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续沿水平轨道运动．圆形轨道半径R=0.2m，右侧水平轨道BC长为L=4m，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h=1m，水平距离s=2m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，小球从圆形轨道最低点B以某一水平向右的初速度出发，进入圆形执道．
（1）若小球通过圆形轨道最高点A时给轨道的压力大小恰为小球的重力大小，求小球在B点的初速度多大？
（2）若小球从B点向右出发，在以后的运动过程中，小球既不脱离圆形轨道，又不掉进壕沟，求小球在B点的初速度的范围是多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点，则重力充当向心力；再对B到最高点过程，由机械能守恒定律可求得B点的速度．
（2）小球飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得小球在B点的初速度范围

解答 解：（1）小球在最高点A处，由牛顿第三定律可知轨道对小球的压力：F_N=F_N′=mg…①
由牛顿第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$…②
从B到A过程，由动能定理可得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²…③
代入数据可解得：v₀=2$\sqrt{3}$m/s…④
（2）情况一：若小球恰好停在C处，对全程进行研究，
由动能定理得：-μmgL=0-$\frac{1}{2}$mv₁²  ⑤代入数据解得：v₁=4m/s…⑥
若小球恰好过最高点A，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{v{′}_{A}^{2}}{R}$…⑦
从B到A过程，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_A′²-$\frac{1}{2}$mv₂²…⑧
代入数据解得：v₂=$\sqrt{10}$m/s…⑨
所以当$\sqrt{10}$m/s≤v_B≤4m/s时，小球停在BC间…⑩
情况二：若小球恰能越过壕沟，由动能定理得：-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₃²…（11）
小球做平抛运动：h=$\frac{1}{2}$gt² （12）s=v_Ct…（13）
代入数据解得：v₃=6m/s…（14）
所以当v_B≥6m/s时，小球越过壕沟…（15）
情况三：若小球刚好能运动到与圆心等高位置，
则有：-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₄²…（16）
代入数据解得：v₄=2m/s…（17）
所以当v_B≤2m/s时，小球又沿圆轨道返回…（18）
综上，小球在A点的初速度的范围是v_B≤2m/s 或$\sqrt{10}$m/s≤v_B≤4m/s、或v_B≥6m/s；
答：（1）小球在B点的初速度是2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球在B点的初速度的范围是：v_B≤2m/s 或$\sqrt{10}$m/s≤v_B≤4m/s、或v_B≥6m/s．

点评 本题考查动能定理、平抛运动及圆周运动中的向心力公式，在解题时要注意正确分析物理过程，做好受力分析，再选择合适的物理规律求解即可；注意分析临界状态，把握临界条件是重点．