Question

如图所示，ABC是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道，圆弧半径为R．A点与圆心O等高，B、C点处于竖直直径的两端．PA是一段绝缘的竖直圆管，两者在A点平滑连接，整个装置处于方向水平向右的匀强电场中．一质量为m、电荷量为+q的小球从管内与C点等高处由静止释放，一段时间后小球离开圆管进入圆弧轨道运动．已知匀强电场的电场强度E=

3mg

4q

（g为重力加速度），小球运动过程中的电荷量保持不变，忽略圆管和轨道的摩擦阻力．求：
（1）小球到达B点时速度的大小；
（2）小球到达B点时对圆弧轨道的压力；
（3）小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为多少？

Answer 1

分析：（1）小球在圆管内运动过程，由动能定理求解小球到达B点时速度的大小；
（2）在B点，由重力和轨道的支持力的合力提供小球运动的向心力，由牛顿运动定律求解小球到达B点时对圆弧轨道的压力；
（3）当小球所受的电场力和重力的合力沿圆弧半径向外时，速度最大，此位置类似于单摆的最低点．由平行四边形定则确定小球所在的半径与竖直方向的夹角，由动能定理求解最大速度．

解答：解：（1）小球从P运动到A的过程中，由动能定理得：
解得：

mg2R+EqR= 1 2 m v 2 B -0 vB= 11 2 gR

（2）小球在最低点B时，根据牛顿第二定律得：

FN-mg=m v 2 B R FN= 13 2 mg

则由牛顿第三定律得：小球对圆弧轨道的压力大小为

13

2

mg．
（3）对小球，等效最低点为F点，在F点小球的速度最大，设OF与竖直方向的夹角为θ，在此位置小球所受的电场力与重力的合力方向沿半径向外，则有：
tanθ=

qE

mg

=

3

4

则知：sinθ=0.6，cosθ=0.8
设小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为v_m，小球从P到F的过程，根据动能定理得：
mgR（1+cosθ）+qER（1+sinθ）=

1

2

m

v

2 m

解得：v_m=

6gR

答：（1）小球到达B点时速度的大小是

11 2 mg

；
（2）小球到达B点时对圆弧轨道的压力是

13

2

mg；
（3）小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为

6gR

．

点评：本题整合了动能定理、牛顿第二定律的应用，关键是找到等效的最低点F，可与单摆进行类比，分析电场力与重力的合力方向，即可确定F的位置，再由动能定理求解最大速度．