题目内容

3．如图所示，竖直平面内有无限长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r=0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h0=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动（g取10m/s2）．
（1）金属杆的质量m为多大？
（2）若金属杆2从磁场边界上方h1=0.2m处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，此过程中电阻R产生的热量为0.7J，求在此过程中通过金属棒横截面的电荷量为多少？
（3）金属杆2仍然从离磁场边界h1=0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时由静止释放金属杆1，两金属杆运动了一段时间后均达到稳定状态，试求两根金属杆各自的最大速度．

分析 （1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，E=BLv，I=$\frac{E}{R+2r}$、F=BIL，及平衡条件可求得m．
（2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h2，由$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，q=$\overline{I}$•t2求出电量q．
（3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．根据平衡条件得到两杆速度之和．由于两个金属杆任何时刻受力情况相同，任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，根据速度增量相同，得到速度的关系，联立求解两杆的最大速度

解答 解：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动
由${v}_{m}^{2}$=2gh0得金属杆2进入磁场时的速度vm=$\sqrt{2gh0}$=4 m/s；
金属杆2进入磁场后受力平衡：mg=BIL 
且E=BLvm，I=$\frac{E}{2r+R}$  
解得：$m=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（2r+R）g}$=$\frac{{2}^{2}×0．{5}^{2}×4}{2×0.5+1}$=0.2kg  
（2）设金属杆2刚进入磁场时的速度为v
v2=2gh1
解得v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2 m/s   
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，设金属杆2在磁场内下降h2．
此过程中，电阻R、金属杆1和金属杆2串联，电流相等．故回路中产生的热量：Q=$\frac{2r+R}{R}{Q}_{R}$=1.4J  
由能量守恒定律有：$mg（{h}_{1}+{h}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q 
解得h2=1.3m   
又$\overline{E}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$，
因电磁感应定律，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，
且q=$\overline{I}t$
得：$q=\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=$\frac{2×0.5×1.3}{1+2×0.5}$=0.65C
（3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速，合力等于零时速度最大，设金属杆1、2的最大速度分别为v1、v2，有
mg=BIL，且I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{R+2r}$，E1=BLv1，E2=BLv2
整理得到：v1+v2=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入数据得：v1+v2=4 m/s     
因为两个金属杆任何时刻受力情况都相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即：
v1-0=v2-v      代入数据得：v2=v1+2 m/s   
联立求得：v1=1 m/s，v2=3 m/s
答：（1）金属杆的质量m为0.2kg；
（2）在此过程中通过金属棒横截面的电荷量为0.65C；
（3）两根金属杆各自的最大速度为1 m/s与3 m/s．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，第3问关键是抓住两杆的加速度相同，任何时刻速度的增量相同这一隐含的条件分析两杆的速度关系．

练习册系列答案
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