Question

（2012年5月福建厦门模拟）如图(a)所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘物块的中心Ｏ的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半。绝缘物块放在水平地面上，物块与地面间的动摩擦力为f，一轻质弹簧一端连接在绝缘物块的中心，另一端固定在墙面上。边界ＧＨ左边存在着正交的匀强电场和交变磁场，电场强度为E，磁感应强度变化情况如图(b)所示，磁感强度大小均为B₀．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速度滑过平台后，垂直于边界ＧＨ在t=T/4时刻进入复合场，刚进入复合场时磁场方向向外且为正值。小球以不变的速率运动至Ｏ点处恰好与绝缘物块发生正碰，碰撞过程没有能量损失(碰撞时间不计)。碰撞后小球恰能垂直于边界ＧＨ返回低一级平台上，而绝缘物块从Ｃ点向右运动到最远点Ｄ，Ｃ、Ｄ间的距离为s，（重力加速度为g）

求：(1)交变磁场变化的周期T；

(2)小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；

(3)绝缘物块从Ｃ点运动至Ｄ点时，弹簧具有的弹性势能E_p.

Answer 1

解：(1)带电小球垂直于边界ＧＨ进入复合场，做匀速圆周运动，则有：

qE=mg ……①   (2分)

带电小球做匀速圆周运动由洛仑兹力提供向心力。且经过半个圆周到达Ｏ点，碰后再经过半个圆周回到二级平台。设小球做匀速圆周运动的周期为T’。

根据带电粒子在磁场运动的周期公式T’=……②(1分)

因为T/4=T’/2，即T=2T’   ……(1分)

由①②消去q，得交变磁场变化的周期T=  ……(2分)

⑵由牛顿第二定律有：qvB₀=m　　……③  (2分)

由几何关系有：r=h/2 …… ④ (1分)

联立①③④，解得：v=　……⑤(2分)

(3)设小球碰后的速度大小为v’，碰后做匀速圆周运动的半径为r’，

由牛顿第二定律有qv’B₀=m……⑥

由几何关系有r’=h/4 ……⑦(1分)

联立解得v’= ……⑧(1分)

设碰后物块获得的动能为E_k,因碰撞过程无能量损失，

有mv² =mv’‘² +E_k …… ⑨(2分)

物块由C到D过程由能量守恒得：E_k =fs+ E_p    ……⑩(2分)

联立⑤⑧⑨⑩解得E_p =-fs  …… (2分)