题目内容
固定于水平桌面上的无限长且光滑的金属轨道MN、PQ（电阻不计），处在竖直向下的匀强磁场中，质量为m的金属棒ab以水平初速度V0在轨道上向右运动（如图）．另有n根质量相同，编号为1、2…．n的金属棒放置在轨道旁边．已知磁感强度为B，MN、PQ相距为L，ab棒电阻为r，编号为1、2…．n的金属棒电阻均为R．现把编号为1的棒无初速轻放于轨道上，当棒1达到最大速度时，又把编号为2的棒无初速轻放于轨道上，当棒2达到最大速度时，又把编号为3的棒无初速轻放于轨道上…，直到编号为n的棒无初速轻放于轨道上而达到最大速度．（1）编号为1的棒刚放上去时，ab棒两端的电压及棒1受到的安培力？
（2）编号为1的棒运动的最大速度？编号为1的棒开始运动到速度最大过程中流过ab棒的电荷量？
（3）编号为K的棒放上去后获得的最大动能与从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量之比？
分析：1、由导体棒切割磁感线产生的感应电动势的表达式求出电动势，根据闭合电路的欧姆定律求出电路中的电流，ab棒两端的电压为路段电压，即编号为1的棒两端的电压，根据部分电路的欧姆定律可计算出来，棒1的安培力根据安培力的公式F=BIL，代入计算即可．
2、棒子1与ab棒有共同速度时速度达到最大，根据动量守恒定律列式计算，可得1号棒子的最大速度．对ab棒运动动量定理研究：-B
L．△t=m V1-m V0，其中
．△t=q代入计算可得流过ab棒的电荷量．
3、ab及1…K号棒组成系统动量守恒，可求得最大速度，从而知道最大动能．从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量为Q等于系统减少的动能．
2、棒子1与ab棒有共同速度时速度达到最大，根据动量守恒定律列式计算，可得1号棒子的最大速度．对ab棒运动动量定理研究：-B
. |
| I |
. |
| I |
3、ab及1…K号棒组成系统动量守恒，可求得最大速度，从而知道最大动能．从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量为Q等于系统减少的动能．
解答：解：（1）编号为1的棒刚放上去时
导体棒切割磁感线产生的感应电动势：E=BL V0 …（1）
由闭合电路的欧姆定律：I=
…（2）
ab棒两端电压U=I．R…（3）
棒1受到的安培力F=BIL…（4）
由（1）-（4）得U=
．R
F=
安培力方向水平向右
（2）棒1与ab棒有共同速度时，棒1速度最大，设最大速度为V1，ab及棒1组成系统动量守恒
m V0=（m+m）V1 …（5）
由（5）得V1=
ab棒在运动过程中受安培力作用，状态发生改变，设经过时间△t棒1速度达到最大，此过程中通过ab棒的电量为q
根据动量定理：-B
L．△t=m V1-m V0 …（6）
根据电流的定义：q=
．△t …（7）
由（6）-（7）得：q=
…（8）
（3）设编号为K的棒放上去后达到的最大速度为VK，ab及1…K号棒组成系统动量守恒：
mV0=（m+Km）VK …（9）
所以：vk=
棒K具有的最大动能为：
EK=
mVK2…（10）
得：EK=
…（11）
设从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量为Q，
根据能量守恒得：Q=
mV02-
．(K+1)mVK2=
…（12）
由（11）-（12）得：
=
答：（1）编号为1的棒刚放上去时，ab棒两端的电压及棒1受到的安培力大小为
，方向水平向右．
（2）编号为1的棒运动的最大速度为
．编号为1的棒开始运动到速度最大过程中流过ab棒的电荷量为
．
（3）编号为K的棒放上去后获得的最大动能为
，从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量之比为
．
导体棒切割磁感线产生的感应电动势：E=BL V0 …（1）
由闭合电路的欧姆定律：I=
| E |
| R+r |
ab棒两端电压U=I．R…（3）
棒1受到的安培力F=BIL…（4）
由（1）-（4）得U=
| BLV0 |
| R+r |
F=
| B2L2V0 |
| R+r |
安培力方向水平向右
（2）棒1与ab棒有共同速度时，棒1速度最大，设最大速度为V1，ab及棒1组成系统动量守恒
m V0=（m+m）V1 …（5）
由（5）得V1=
| v0 |
| 2 |
ab棒在运动过程中受安培力作用，状态发生改变，设经过时间△t棒1速度达到最大，此过程中通过ab棒的电量为q
根据动量定理：-B
. |
| I |
根据电流的定义：q=
. |
| I |
由（6）-（7）得：q=
| mV0 |
| 2BL |
（3）设编号为K的棒放上去后达到的最大速度为VK，ab及1…K号棒组成系统动量守恒：
mV0=（m+Km）VK …（9）
所以：vk=
| v0 |
| 1+k |
棒K具有的最大动能为：
EK=
| 1 |
| 2 |
得：EK=
| mv02 |
| 2(1+k)2 |
设从开始放棒1到棒K有最大速度过程中系统的发热量为Q，
根据能量守恒得：Q=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| kmv02 |
| 2(1+k) |
由（11）-（12）得：
| Ek |
| Q |
| 1 |
| K(K+1) |
答：（1）编号为1的棒刚放上去时，ab棒两端的电压及棒1受到的安培力大小为
| B2L2V0 |
| R+r |
（2）编号为1的棒运动的最大速度为
| v0 |
| 2 |
| mV0 |
| 2BL |
（3）编号为K的棒放上去后获得的最大动能为
| mv02 |
| 2(1+k)2 |
| 1 |
| K(K+1) |
点评：本题的难点是要把ab及1…K号棒组成系统来研究，运用动量守恒求解最大速度，运用能量守恒求解系统发热量．本题难度较大，属于难题．
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如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计．开始时磁感应强度为B0．
